17.2. Основи фінансової математики

При ревальвації визначають, яку вартість (ЫОР) ма­тиме інвестована до визначеного моменту часу сума капі­талу (момент часу і = 0) у більш пізній момент часу (і) з урахуванням нарахування відсотків і складних відсотків.

Якщо процентна ставка (і) для всіх періодів (найчастіше обчи­слюється в роках) між моментами 0 і ' однакова, то показник ЫСРр визначається в такий спосіб:

МСГР = РГ (1 + і)',

де і — процентна ставка;

ї — рік, на який ми перераховуємо.

4 = гР = (1 + і)\

4 — коефіцієнт ревальвації.

Якщо процентні ставки не однакові для всіх періодів, то для кожного періоду часу ' визначається окремий коефіцієнт реваль­вації (4').

Тоді при ревальвації сума інвестиційного капіталу збільшу­ється на всі коефіцієнти, розраховані для кожного періоду. Вартість капіталу через час Т обчислюється за формулою:

ЫСГр = РГ (1 + іі) • (1 + І2>     (1 + іт)

Дисконтування служить для розрахунку вартості (ЫСРд), яка повинна бути інвестована в будь-який момент часу (і = 0) для того, щоб у майбутньому (і) мати в розпо­рядженні визначену суму РУ.

При однаковій процентній ставці значення АСЕд у нульовий момент часу розраховується за формулою:

АСЕд = PV / (1 + і)' = PV (1 + і)'',

гд = Ч~' = (1 + i)~t,

де гд — коефіцієнт дисконтування.

Дисконтування при різних ставках відсотка в розглянутих пе­ріодах здійснюється аналогічно ревальвації за допомогою розра­хованих для кожного періоду коефіцієнтів дисконтування:

АСЕд = PV (1 + І1) • (1 + І2>... -(1 + іт).


Подпись:

М

и н

у

л


 

Потрібно вкласти АСЕ

кілька років тому, щоб зараз отримати PV


Ф

С ь о г о

д е н н я


Через кілька років отримав АСЕ, якщо сьогодні вклав PV


М

а й

б у

т н

є


 

Рис. 17.1. Дисконтування і ревальвація

Для підрахунку фактичної вартості, тобто обчислення ва­ртості в момент часу і = 0 (АСЕ) для ряду платежів однакового розміру (РУ~), які щорічно здійснюються наприкінці кожного року протягом і років, використовується формула:


(1 + і)' ~ 1 (1 + і)' • і

гф.в

(1 + і)' ~ 1

■■PV

(1 + і)і ■ і

де Гфв — коефіцієнт фактичної вартості періодичних надхо­джень.

Подібним чином можна зробити розрахунок періодичних над­ходжень.

Періодичні надходження — це перетворення наявних на нульовий момент часу вартості (РУ) у ряд віднесених на кінець року платежів (N0^) рівної величини, що здійсню­ються до моменту часу і:

ж = ру (1+І)' •і

п.н.

(1 + і)' " 1 (1 + і)' • і

Гв = РУ

(1 + і)' - Г де гв — коефіцієнт відновлення.

Коефіцієнт відновлення — величина, зворотна коефі­цієнту фактичної вартості періодичних надходжень:

Гв = 1 / Гф.В.

Розглянемо описані вище формули на прикладах. Приклад 1

Яка буде вартість капіталу в розмірі 10 000 у.од., інвестовано­го по ставці і = 0,1 (10%), через 3 роки. Нехай 4 — коефіцієнт ревальвації.

Ж¥р = РУ (1 + і)',

4 = г = (1 + і)'.

Тоді при ревальвації РУ = 100 000 у.од. при і = 0,1 і періоді ча­су ' = 3 роки:

ІЇСРР = 10 000 (1 + 0,1)3 = 13 310 у.од.

Приклад 2

Припустимо, якщо для вищенаведеного періоду процентні ставки: і1 = 0,1; і2 = 0,12; і3 = 0,15, то вартість капіталу при рева­львації складе:

МЄГР = РУ(1 + і1) • (1 + і2> ..(1 + іт), = 10 000 • 1,1- 1,12 • 1,15=14 168 у.од.

Приклад 3

Розрахувати вартість (ЛО7;,), яка повинна бути інвестована сьогодні для того, щоб через три роки мати в розпорядженні пев­ну суму Л.

При однаковій процентній ставці значення АСЕд у нульовий момент часу розраховується за формулою:

АСЕд = PV / (1 + і)' = PV (1 + і)-',

гд = Ч~' = (1 + i)~t,

де гд — коефіцієнт дисконтування.

Наприклад, у результаті дисконтування PV = 100 004 у. од. з моменту часу ' = 3 на момент часу ' = 0 по ставці 10% одержуємо:

АСЕд = 10 000 / (1 + 0,1)3 = 7513 у. од.

Це означає, що 3 роки тому інвестору треба було вкласти 7513 у. од., щоб через 3 роки мати 10 000 у. од. при ставці 10 %.

Приклад 4

Якщо через 3 роки щорічно виробляються платежі в розмірі PV = 10 000 у.од., то їхня фактична вартість по ставці 10 % ста­новитиме:

^ф.в = PV■(1 + І)і "1

(1 + і)' • і

(1 + і)' " 1

(1 + і)і ■ і

Гфв — коефіцієнт фактичної вартості періодичних надходжень.

1УФВ = 10000 (1 + 0,1)3 ~1 = 24 868 у. о. (1 + 0,1)3 ■ 0,1

Подібним чином можна зробити розрахунок періодичних над­ходжень.

Приклад 5

Модифікувавши вищенаведений приклад, одержимо розмір періодичних надходжень, на які розкладена сума 10 000 у.од.

(1 + і)' -1

(1 + і)' • і

(1 + і)' -1 де гв — коефіцієнт відновлення.

ЖПН = 10 000 (|+      • °>1 = 4021 у. о.
■          (1 + 0Д)3 -1