14.2. Графік функції корисності

 

ОГО

Рис. 14.1. Функція корисності для ОПР, байдужої до ризику

Якщо буде визначена шкала виміру, то можна побудувати фу­нкцію корисності ОПР (див. рис. 14.1, 14.2, 14.3). Можливі 3 варіанти:


Подпись: ого

ого

Можна сконструювати гру, у якій індивід з імовірністю а оде­ржує грошову суму х і з імовірністю 1 - а суму 2. Таку гру буде­мо називати О (х; 2; а).

Приклад 1

Припустимо, має місце гра з альтернативами а і Ь (лотерея), тобто

G (a, b, a ). Досліджуємо проблему — як доцільніше поступи­ти ОПР:

— грати в лотереї;

- одержати гарантований виграш, що дорівнює очікуваному виграшу.

Рішення:

Нехай функція корисності гравця

U (W) = ln (W), де W — величина добробуту.

Нехай гра полягає у виграші 5 у. од. з імовірністю 0,8 і вигра­шу 30 у. од. з імовірністю 0,2.

Підрахуємо очікувану грошову оцінку (ОГО).

ОГО = E (W) = p\s + P2S,

де E(W) — математичне очікування.

ОГО = E (W) = 5 • 0,8 + 30 • 0,2=10 у. од.

Для зазначеної функції корисності маємо залежність, яку за­пишемо в табл.14.1.


Таблиця 14.1

Наприклад, V (1) = 1п (1) = 0 чи V (30) = 1п (30) = 3,40 (значен­ня беруться з таблиці логарифмів).

Оцінимо корисність ОГО:

V (ОГО)= V (Е (Щ)) = V (10) = 1п (10) = 2,3.

Тобто корисність відмови від гри при одержанні гарантовано­го виграшу = 10 у.од. оцінюється в 2,3 ютиля.

(ютиль — одиниця корисності).

Якщо ОПР віддасть перевагу грі, то математичне очікуван­ня корисності:

Е (V (Щ)) = р (V(5) + (1 -р) V^))

Е (V (Щ)) = 0,8 • 1,61 + 0,2 • 3,4 = 1,97 ютиля.

Висновок: для розглянутої функції корисності більшою кори­сністю володіє варіант з одержанням гарантованого виграшу 10 у. од., а не участь у грі (2,3 > 1,97). Така ОПР не схильна до ризику.


епер можна зробити висновок:

Якщо функція корисності більша математичного очі­кування корисності, и (Е (Щ)) > Е (и (Щ)), то гравець не схильний до ризику.

Якщо и (Е (Щ)) = Е (и (Щ)), то гравець байдужий до ризику.

Якщо и (Е (Щ)) < Е (и (Щ)), то гравець схильний до ризику.

Приклад 2

Нафтопереробна фірма вирішує питання про буріння свердло­вин. Відомо, що коли фірма буде бурити, то:

З імовірністю 0,6 нафти знайдено не буде;

З імовірністю 0,15 запаси родовищ складуть 100 000 т;

З імовірністю 0,1 запаси родовищ складуть 500 000 т;

З імовірністю 0,05 запаси родовищ складуть 1000 000 т. Якщо нафта не буде знайдена (варіант 1), то фірма втратить

50 000 у. од.

За варіантом 2 втрати знизяться до 20 000 у. од. За варіантом 3 буде прибуток 30 000 у. од. За варіантом 4 прибуток становитиме 430 000 у. од. За варіантом 5 прибуток становитиме 930 000 у. од.

Розв'язання:

Побудуємо спочатку дерево рішень (див. рис. 14.4):



Якщо ОПР байдужа до ризику, то

ОГО = 0,6 (-50 000) + 0,1 (-20 000) + 0,15 (30 000) + + 0,1 (430 000) + 0,05 (930 000) = 62 000 у. од.


ОПР сприймає очікувану корисність як пропорційну ОГО, маючи на увазі, що и = 62 ютилі.

У цьому випадку графіком буде пряма з позитивним нахилом.

3) Для прийняття рішення у випадку, коли ОПР не байдужа до ризику, оцінимо корисності кожного з припустимих наслідків.

5 = -50 — гірший результат,

5 = 930 — кращий результат.

Тоді нехай и (-50) = 0, а и (930)=50 ютилів.

и(-20) = 0,1-и(930) + (1- 0,1) и(-50) = 0,1-50 + 0,9-0 = 5 ютилів.

и(30) = 7,5.

Отже, ОПР схильна до ризику. Вона віддасть перевагу грі.


МОДЕЛЮВАННЯ ІНВЕСТИЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ