ФУНКЦІЯ КОРИСНОСТІ НЕЙМАНА-МОРГЕНШТЕРНА 14.1. Основні визначення

Що роблять гравці, коли необхідно прийняти рішення — ри­зикувати чи ні? Щодо одержуваного середнього виграшу зазна­чені альтернативи практично еквівалентні, і якщо навіть гравець байдужий до ризику, він все-таки ризикне. Якщо ж він до ризику не байдужий (а переважна більшість людей саме такі), то вибір буде залежати, головним чином, від фінансового стану гравця. Гравці, що мають скромний грошовий дохід (Ж) зволіють не ри­зикувати і виберуть гарантований виграш.

Для ОПР (особа, що приймає рішення), яка володіє великим капіталом, коли програш невеликий у порівнянні з капіталом, краще буде ризикнути. Ризикувати будуть також гравці, патоло­гічно схильні до азартних авантюр.

Американськими вченими Нейманом і Моргенштерном було доведено, що особа, яка приймає рішення (ОПР), при прийнятті рішення буде прагнути до максимально очікуваної корисності, тобто з усіх можливих рішень вона вибере те, що забезпечує най­більш очікувану корисність.

Корисність (Щ — це певне число, приписуване ОПР кожному можливому результату.

Функція корисності Неймана-Моргенштерна (и(Щ)

показує корисність, яку приписує ОПР кожному можливому результату.

Причому в кожного ОПР своя функція корисності, що показує його готовність до тих чи інших наслідків залежно від ставлення до ризику. Як ми вже говорили, якщо гравець до ризику не бай­дужий, то вибір буде залежати, головним чином, від фінансового стану гравця.

Очікувана корисність події дорівнює сумі добутків імо­вірностей наслідків на значення корисності цих наслідків.

Тому для прийняття рішення у випадку небайдужості ОПР до ризику потрібно спочатку оцінити значення корисностей кожно­го з наслідків. Нейман і Моргенштейн зробили припущення щодо процедури побудов індивідуальних функцій корисності, які поля­гають у тому, що ОПР відповідає на ряд запитань, виявляючи при цьому свої індивідуальні смаки, які враховують її схильність до ризику. Значення корисностей можуть бути знайдені за два кроки:

Привласнюються довільні значення корисностей виграшу для гіршого і кращого наслідків. Причому гіршому з наслідків ставиться у відповідність менше значення корисності. Корисність навіть для одного індивіда визначається неоднозначно, а з точні­стю до монотонного перетворення.

Гравцю пропонується на вибір або одержати певну гаранто­вану суму Ж, що міститься в проміжку між 5 і 5* (гірше і краще значення виграшів), 5 < Ж < 5, або взяти участь у грі, тобто одер­жати з імовірністю р найбільшу грошову суму 5 і з імовірністю (1 - р) одержати найменшу грошову суму 5. При цьому ймовір­ність слід змінювати (підвищувати чи знижувати) доти, доки ОПР не стане байдужим стосовно вибору між одержанням гаран­тованої суми і грою.

Нехай вказане значення ймовірності дорівнює р0. Тоді корис­ність гарантованої суми (очікувана корисність визначається як середнє значення — математичне очікування корисності найбі­льшої і найменшої сум) відобразиться дією:

П(Ж) = рои (5) + (1 - ро) и (5)