13.3. Критерій Вальда

Отже, якщо питання розподілу ймовірностей станів приро­ди не вирішений, то використовують класичні критерії прийн­яття рішень в умовах невизначеності.

Один з них — критерій Вальда, критерій крайнього песиміз­му. Він аналогічний підходу, застосовуваному в стратегічних іг­рах, де супротивник вкрай агресивний. Критерій орієнтує особу, що приймає рішення, на вкрай обережну лінію поводження, тому ним користуються у випадках, коли необхідно забезпечити успіх за будь-яких можливих умов.

Важливо звернути увагу на вихідні умови, тому що можливі два підходи — коли рішення приймається, виходячи з матриці виграшів (наприклад, прибутків) чи виходячи з матриці про­грашів.

13.3.1. Критерій Вальда для матриці виграшів

Відповідно до критерію Вальда, якщо розглядається матриця виграшів гравця А, то найкращим рішенням буде те, для якого виграш виявиться максимальним із усіх міні­мальних, при різних варіантах умов. Цей принцип назива­ється критерієм максиміна.

Формалізований вираз максиміна виглядає так:

Hw = max. min . a tj, Hw = max, a, а, = minj a j

Максимінний критерій Вальда збігається з критерієм вибору стратегії, що дозволяє одержати нижню ціну гри для двох осіб з нульовою сумою. Відповідно до цього критерію вибирається стратегія, що гарантує за будь-яких умов виграші не менші ніж

max min ja j.

Іншими словами, максимінний критерій Вальда використову­ється у випадках, коли потрібна гарантія, щоб виграш у будь-яких умовах виявився не менший, ніж найбільший з можливих у гірших умовах (кращий з гірших).

13.3.2. Критерій Вальда для матриці програшів

Якщо розглядається матриця програшів гравця А, то найкращим рішенням відповідно до критерію Вальда буде те, для якого програш виявиться мінімальним із усіх мак­симальних, при різних варіантах умов. Цей принцип назива­ється критерієм мінімакса.

Формалізований вираз мінімакса виглядає так:

Hw = min. max . a tj, Hw = min Pi P, = max j ay..

Іншими словами, мінімаксний критерій Вальда використову­ється у випадках, коли потрібна гарантія, щоб програш у будь-яких умовах виявився не більший, ніж найменший з можливих у гірших умовах (кращий з гірших).

Даний критерій простий і чіткий, але консервативний у тому розумінні, що орієнтує того, хто приймає рішення, на вкрай обе­режну лінію поводження.

Тому критерієм Вальда, головним чином, користуються у ви­падках, коли необхідно забезпечити успіх за будь-яких можливих умов.

Приклад 1

Знайти оптимальне рішення, скориставшись критерієм Вальда.

Дана матриця виграшів (див. табл. 13.1), де А1, А2, А3 — при­йняті гравцем рішення, Р1, Р2, Р3 — стану природи, ay — виграші за відповідних умовах.

Знайдемо мінімальні виграші в кожному рядку: а,- = (1,4,2).


Таблиця 13.1

Тепер серед них знайдемо максимальне значення: Hw = max (1,4,2) = 4.

З прикладу випливає, що max min = 4, значить перевагу треба віддати рішенню А2. У цьому випадку ми незалежно від варіантів обстановки Р одержимо виграш не менше 4.

За будь-якого іншого рішення, у разі несприятливої обстанов­ки, може бути отриманий виграш менше 4.

Нагадаємо, що тут як вихідні дані, при виборі варіанта за кри­терієм Вальда, бралися виграші а,у, що відповідають кожній парі сполучень, рішень А і обстановці Р.

Приклад 2

Знайти оптимальне рішення, скориставшись критерієм Вальда. Нехай дана матриця збитків:

2 4 9 1 7 2 8   9 1


Запишемо вихідні дані в табл. 13.2.

Знайдемо максимальні збитки в кожному рядку: ßi = (9, 7, 9).

Тепер серед них знайдемо мінімальне значення: Hw = min (9, 7, 9) = 7.

З прикладу випливає, що min max = 7, значить перевагу треба віддати рішенню A2. У цьому випадку ми, незалежно від варіантів обстановки Р, одержимо збитки не більше 7. При будь-якому ін­шому рішенні, у випадку несприятливої обстановки, може бути отриманий програш більше 7.