13.2. Основні поняття теорії статистичних ігор

У статистичних іграх використовуються такі поняття: функція ризику, функція втрат, функція рішень. Умови гри задаються у

вигляді матриці  А = ||ац|      це множина рішень статистика.

В = ||вц| це множина рішень природи. Елемент ац дорівнює ви­грашу гравця А, якщо він використовує стратегію А, а природа має стан Вц. У ряді випадків при розв'язанні гри розглядають ма­трицю ризиків Я = ||гц І.

Елементи матриці ризику Гц — це різниця між вигра­шем, що одержав би статистик А, якби знав стан природи Вц, і виграшем, який він одержить у тих же умовах, засто­совуючи стратегію А.

Наприклад, розглянемо матрицю прибутків гравця А:

Побудуємо матрицю ризиків:

633

Я = 3  0 0 0  6 6

Тому що, наприклад,

г—і= 9 - 3 = 6;

г12 = 7 - 4 = 3 і т. д.

Розглянемо ряд критеріїв, використовуваних при розв'язанні ігор із природою. При відомому розподілі ймовірностей станів природи критерієм прийняття рішення є максимізація виграшу чи мінімізація очікування ризику.

Нехай імовірності стану природи дорівнюють (£ рц = 1).

Вибір -ої стратегії забезпечує математичне очікування ви­грашу, що дорівнює £ аццрц .

ц

У ряді випадків, коли ймовірності стану природи невідомі, для їхньої оцінки використовують принцип недостатнього обґрунту­вання Лапласа.

Відповідно до нього, усі стани природи вважаються рівноймо-вірними, тоді вибір рішення можна робити по мінімуму серед­ньозваженого показника ризику.

Якщо Я — критерій ризику;

Н — величина втрат;

Рі — імовірність настання ризикових ситуацій, то

п          п 1

Я =£ нцрц =£ нц ■

і=1       і=1 п

п — кількість розглянутих варіантів станів природи.

Однак у цих випадках не можна стверджувати, що прийняте рішення є оптимальним. Оптимальним воно є тільки щодо при­йнятого розподілу імовірностей станів природи. Якщо ж питан­ня розподілу ймовірності і природи невідоме, можна скориста­тися:

Максимінним критерієм Вальда чи критерієм крайнього пе­симізму;

Мінімаксним критерієм Севіджа (теж критерій крайнього песимізму);

Критерієм крайнього оптимізму;

Критерієм узагальненого максиміна Гурвіца (критерій пе-симізму-оптимізму).