12.10. Графічний метод розв'язування ігор 2 х п і 2 х п

Можна розглянути задачу мінімізації верхньої межі виграшу для гравця Б, помінявши місцями при розв'язанні гравців A і Б.

Використовуючи геометричну інтерпретацію, можна знайти розв'язок ігор, заданих матрицею 2 • n.

Кожній з п стратегій гравця Б відповідає пряма. Побудувавши ці прямі, знаходять нижню межу виграшу. Точка K, що лежить на нижній межі, для якої величина виграшу найбільша, визначає ці­ну гри і її розв'язок.

При цьому визначаються активні стратегії гравця Б (відповідні їм прямі перетинаються в точці К): з геометричних міркувань можна знайти значення yj, що відповідають активним стратегіям гравця Б.

Аналогічно може бути розв'язана гра з матрицею т • 2, тільки в цьому випадку будують верхню межу виграшу і на ній визна­чають мінімум. Слід зазначити, що геометричні побудови є сенс використовувати для визначення активних стратегій гравців. По­тім розв'язок гри можна одержати за допомогою формул чи з геометричних побудов.

Вищенаведені формули можна використовувати, оскільки з відповідної матриці виключаються всі стратегії, крім активних, і вона містить два рядки і два стовпці.

Розглянемо тепер розв'язування ігор з матрицею т • n, якщо min {т, п} > 2.

Приклад 8

Знайти розв'язок гри, заданий матрицею

„ 2 3 \ 4 П _2  3  3 1


Розв'язання:



Прямі на рис. 12.8 відповідають стратегіям гравця Б.

Ламана В3КВ4 відповідає нижній межі виграшу. Оптимальні стратегії гравця Б — третя і четверта. За вищенаведеними фор­мулами знаходимо розв'язок гри:

X = (0,4; 0,6);

У = (0; 0; 0,6; 0,4),

V = 2,2.

Отже, гравець А застосовує стратегію А1 з імовірністю 0,4, а стратегію А2 — з імовірністю 0,6. При цьому його виграш у сере­дньому становитиме 2,2 од.

Приклад9

Знайти розв'язок гри, заданий матрицею

4 3|


П


2 4| 0 5 -1 61


 

Розв'язання:

Матриця має розмірність 2 • 4, тому розв'язок задачі знаходи­мо для гравця Б. На рис. 12.9 побудовані прямі, що відповідають стратегіям гравця А.


X = (7 / 8; 0; 0; 1 / 8), У = (3 / 8; 5 / 8). V = 27/8.

Приклад 10

Гра полягає в тому, що гравець А записує числа 1 (стратегія А1) 2 (А2), чи 3 (А3). Гравець Б, у свою чергу, може записати числа 1 (У0, 2 (У2), 3 (Вз), чи 4 (У4).

Якщо обидва числа виявляться рівної парності, то гравець А виграє суму цих чисел, якщо різної парності, то гравець Б виграє суму цих чисел. Скласти платіжну матрицю, визначити верхню і нижню ціну гри і мінімаксні стратегії.

Розв'язання:

Відповідно до умови, платіжна матриця гри має такий вигляд (див. табл. 12.5).

Таблиця 12.5

Нижня ціна гри: а = max а,- = -5; верхня ціна гри: ß = min ß7- = 4.

Отже, для гравця А максимінними стратегіями є A1 або А2, при яких йому забезпечений «виграш» не менше (-5) (тобто програш не більше 5).

Для гравця Б відповідно мінімаксними стратегіями є В1 або В2, що забезпечують йому програш не більше 4. Гра не має сідлової точки (а < ß).