12.6. Оптимальні змішані стратегії

Функцією виграшу чи платіжною функцією f(Х,У) гри, з матрицею П = |а(ї|^ при застосуванні гравцем А змі­шаної стратегії X, а гравцем Б змішаної стратегії У, на­зивається середня величина виграшу гравця А (програшу гравця Б), що підраховується за формулою:

f (Х,У) = Ххіу]еі]= Хпу.

Стратегії X*,У * називаються оптимальними, якщо виконуються нерівності:

f (Х,У*) < f (Х*,У*) < f(X*,У).

Тобто стратегії X*,У * називаються оптимальними, якщо їхнє застосування забезпечить гравцю А середній ви­граш не мен.ше, ніж при застосуванні ним будь-якої іншої стратегії X і гравцю Б середній програш не більше, ніж при застосуванні ним будь-якої іншої стратегії У.

Сукупність оптимальних стратегій (X*,У *) назива­ється оптимальним рішенням, а значення платіжної функ­ції — ціною гри:

V = f (X *,У *).

Відповідно до основної теореми теорії ігор, кожна кінцева гра має принаймні один конкретний розв'язок, яким може бути і ви­значена змішана стратегія. Застосування оптимальних стратегій дозволяє одержати виграш, що дорівнює ціні гри:

а< V <р.

Таким чином, застосування гравцем А оптимальної стратегії X , повинне забезпечувати йому при будь-яких діях гравця Б ви­граш, не менший, ніж V. Тому виконується співвідношення:

т

І а1}х1 * > v,

і=1

і = 1,..., п. _ Аналогічно для гравця Б. Оптимальна стратегія У * повинна забезпечити при будь-яких стратегіях гравця А програш, що не перевищує і:

п

І аруі * < ^

]=1

і = 1,..., т.