12.5. Змішані стратегії

Отже, якщо ігрова матриця містить сідлову точку, то розв'я­зок гри відомий. Кожний із гравців застосовує свою оптимальну стратегію. Виникає питання знаходження розв'язку для ігор, мат­риці яких не містять сідлової точки. У цих іграх а < Р.

Застосування мінімаксних стратегій для кожного з гравців за­безпечує виграш, що не перевищує а, і програш, не менший р. Природним для кожного гравця є питання збільшення виграшу (зменшення програшу). Пошуки такого розв'язку полягають у тому, що гравці застосовують не одну, а кілька стратегій. Вибір стратегій здійснюється випадково.

Випадковий вибір гравцем своїх стратегій називається змішаною стратегією.

У грі, матриця якої має розмірність т • п, стратегії гравця А задаються наборами ймовірностей X = (х1, х2,..., хт), з якими гра­вець застосовує свої первісні стратегії. Ці набори можна розгля­дати як т-мірні вектори, для компонентів яких виконуються умови:

т

І х, = 1,

1=1

х, > о, . і = 1,..., т

Аналогічно для гравця Б визначають п-мірні вектори У = (у1, у2,     уп),відповідні його змішаним стратегіям.

Стратегії гравців А і Б, для яких імовірності х, і у від­мінні від нуля, називаються активними.

Отже, змішаною стратегією гравця А називається застосування ним своїх чистих стратегій А1, А2, Ап з імовірностямихьх2,     хп, причому Іх: = 1.

її записують у вигляді:

^1 ,      Ат Л

чxl, x2,..., хт )

або

Х = (xl, x2,..., хт ).

Тоді змішана стратегія для гравця Б:

ч yl, Д^»^Уп ) або

У = (yl, y2,..., уп ).

Причому І у] = 1.

У] — імовірність настання чистої стратегії гравця Б. Чисті стратегії — окремий випадок змішаних, що задаються одиничним вектором.