12.3. Чисті стратегії. Основні поняття

Найпростіший вид стратегічної гри — гра двох осіб з нульо­вою сумою (сума виграшів сторін дорівнює нулю). Гра складаєть­ся з двох ходів.

Гравець А вибирає одну зі своїх можливих стратегій Аі (і = 1, т). Гравець Б вибирає одну зі своїх стратегій Б/ (/ = 1, ... п). Причому кожен вибір робиться при повному незнанні вибору другого гравця. У результаті виграші ср1 (Лі, Б/) і ср2 (Аі, Б/) кожно­го з гравців задовольняють співвідношення (тому що це гра двох осіб з нульовою сумою):

Ф1( лі ,б/) + Ф 2( а,, б/) = 0,

тобто (Виграш + Програш = 0).

Звідки, якщо ми приймемо, що ф( аі ,б/) = ф1 (аі, б/), то, знаючи, що ф1(а, ,б/) = -ф(а,, б/), одержимо ф = -ф (а,, б/).

Отже, мета гравця А — максимізувати функцію ф( аі, б/). Мета гравця Б — мінімізувати ту ж саму функцію ф( аі, б/).

Кожний із гравців може вибирати одну із змінних, від яких зале­жить значення функції.

Якщо гравець А вибирає якусь зі стратегій А,, то це само по собою не може впливати на значення функції ф(аі , Б/). Вплив А,

на величину значення ф( аі , Б/) є невизначеним; визначеність має місце тільки після вибору, виходячи з принципу мінімізації фун­кції ф(аі, Б/) другим гравцем змінної Б/. При цьому В/ визнача­ється другим гравцем.

Отже, нехай ф(аі ,Б/) = <*ц. Складемо матрицю П:


 

П:


ам   an              ain

а 21   а 22         a2n

ami    am2         amn


Рядки матриці відповідають стратегіям Аі, стовпці — стратегі­ям В], Матриця П називається платіжною чи матрицею гри. Елемент матриці — виграш гравця А, якщо він вибрав страте­гію А,-, а гравець Б вибрав стратегію В],