11.2. Зв'язок математичного очікування і середньоквадратичного відхилення

Найбільш поширена точка зору, згідно з якою міроюризику певного комерційного (фінансового) рішення чи операції слід вважати середньо квадратичне відхилення (позитивний квадрат­ний корінь з дисперсії) значення показника ефективності цього рішення чи операції.

Дійсно, оскільки ризик обумовлений недетермінованістю ре­зультату рішення (операції), то чим менший розкид (дисперсія) результату рішення, тим більше він передбачуваний, тобто мен­ше ризик. Якщо варіація (дисперсія) результату дорівнює нулю, то ризик повністю відсутній.

Наприклад, в умовах стабільної економіки операції з держав­ними цінними паперами вважаються безризиковими. Найчастіше показником ефективності фінансового рішення (операції) слу­жить прибуток.

Розглянемо як ілюстрацію вибір певною особою одного з двох варіантів інвестицій в умовах ризику.

Приклад 1

Припустимо, є два проекти А і В, у які зазначена особа може вкласти кошти. Проект А у визначений момент у майбутньому забезпечує випадкову величину прибутку. Припустимо, що її се­реднє очікуване значення (математичне очікуваня), дорівнює Ха з

дисперсією оа2. Для проекту В ці числові характеристики прибу­тку як випадкової величини передбачаються рівними відповід­но Хь з дисперсією оь2. Середньоквадратичні відхилення дорів­нюють відповідно оа і сть2. Можливі такі випадки:

Ха = Хь, Да < ДЬ, слід обрати проект А;

Ха > Хь, Да < ДЬ, слід обрати проект А;

Ха > Хь , Да = ДЬ, слід обрати проект А;

а) Ха > Хь, Да > Дь;

е) Ха < Хь , Да > Дь.

В останніх двох випадках рішення про вибір проекту А чи В за­лежить від ставлення до ризику особи, що приймає рішення (ОПР). Зокрема, у випадку й проект А забезпечує вищий середній прибуток, однак він і більш ризикований. Вибір при цьому визна­чається тим, якою додатковою величиною середнього прибутку компенсується для ОПР задане збільшення ризику. У випадку для проекту А ризик менший, але й очікуваний прибуток менший.

Приклад 2

Відомо, що при вкладенні капіталу в захід А страховою ком­панією з 120 випадків прибуток в 12,5 тис. грн був одержаний в 48 випадках, прибуток в 20 тис. грн в 42 випадках, і прибуток в 12 тис. грн в 30 випадках.

При вкладенні капіталу в захід Би з 150 випадків прибуток в 15 тис. грн був одержаний в 60 випадках, прибуток в 20 тис. грн в 60 випадках і прибуток в 17 тис. грн в 30 випадках (див. табл. 11.1).


Який захід менш ризикований?

Рішення:

Середнє очікуване значення прибутку (математичне очіку-

             п

вання) М = X = £ хірі

і=1

МА = 12,5 • 0,4 + 20 • 0,35 + 12 • 0,25 = 15 Мв = 15 • 0,4 + 20 • 0,4 + 17 • 0,2 = 17,5

Мінливість можливого результату:

2.1) середнє квадратичне відхилення: о = ^Б(Х)

де Б — дисперсія: £>(X) = Xрі (X - X)2

ВА = (12,5 - 15)2 • 0,4 + (20 - 15)2 • 0,35 + (12 - 15)2 • 0,25 =13,5 Бв = (15 - 17,4)2 • 0,4 + (20 - 17,4)2 • 0,4 + (17 - 17,4)2 • 0,2 =5

коефіцієнт варіації: у = о/М

Уа = 3,6 / 15 = 0,24 ув = 2,2 / 17,4 = 0,22

Висновок:

Вибрати В, оскільки середня величина прибутку більша і складає 17,4 тис. грн, а показники мінливості можливого резуль­тату менші: середнє квадратичне відхилення 2,2 тис. грн, і коефі­цієнт варіації 0,13. Значить і ризик у заходу В менший.

Приклад 3

Розглянемо два варіанти виробництва нових товарів. З огляду на невизначеність ситуації з реалізацією товарів, керівництво проаналізувало можливі доходи від реалізації проектів у різних ситуаціях (песимістична, найбільш імовірна, оптимістична), а та­кож імовірність настання зазначених ситуацій.


Результати аналізу, що є вихідними даними для розв'язання задачі, подані в табл. 11.2.

Зауважимо, що у випадку оптимістичної ситуації проект Б за­безпечить 600 одиниць доходу. При цьому ймовірність її настан­ня 0,25. Проект А забезпечить 500 одиниць доходу з імовірністю 0,20, тобто при орієнтації на максимальний результат проект Б є кращим. З другого боку, у випадку песимістичної ситуації проект Б забезпечить 80 одиниць доходу з імовірністю її настання 0,25, а проект А — 100 одиниць з імовірністю настання 0,20. Тобто при настанні песимістичної ситуації кращим є проект А. Неважко пе­реконатися, що МА = Мв = 320, тому що

МА = 100-0,2 + 333,3-0,6 + 500-0,2 = 320;

Мв = 80-0,25 + 300-0,5 + 600-0,25 = 320

Згадаємо необхідні для наших досліджень формули: дисперсія випадкової величини дорівнює D (х) = £р,- (хі - A4)2; середньоквадратичне відхилення о = ^D(x),

Середньоквадратичне відхилення оА = 127, оу = 185. Таким чином, при однакових середніх очікуваних доходах коливання можливого результату в проекті Б більше, тобто ризик проекту А нижчий, ніж проекту Б.

Приклад 4

Оцінка ризику підприємницької фірми

За допомогою статистичного методу оцінки ризику можна оцінити не тільки ризик конкретної угоди, а й підприємницької фірми в цілому за певний проміжок часу. Для наочності розгля­немо задачу:

Оцінка ризику по господарських контрактах


ТОВ «Ритм» необхідно оцінити ризик того, що покупець опла­тить товар вчасно при укладенні договору про постачання проду­кції. Вихідні дані для аналізу зведені в таблицю 11.3, при цьому угоди з даним партнером укладалися протягом 10 місяців.

Визначити термін оплати рахунка в аналізованому місяці. Насамперед визначимо середньозважений термін оплати ра­хунка за формулою:

Я = Яі • Р,

де Я — середньозважений термін оплати; Я{ — термін оплати по місяцях; Рі — імовірність настання і-го значення.

Рі = Кі / п,

де Рі визначаються за формулою:

Кі — кількість значень ознаки, що повторилися; п — загальна кількість подій (див. табл. 11.4).


Підставляючи вихідні дані і підраховані імовірності у формулу

Я = Яі • Рі,

визначаємо середньозважений термін оплати рахунка. Ризикова­ність даної угоди визначається за допомогою стандартного від­хилення, тобто можливе відхилення як у гірший, так і в кращий бік очікуваного значення, показника, що розраховується від його середнього значення. Чим більша величина стандартного відхи­лення, тим більший розкид можливого результату, тим вищий підприємницький ризик у даній угоді.

Б = Н(Я - Я і)2 • Рі,

де Б — дисперсія.

Потім знайдемо о — середньоквадратичне відхилення як ко­рінь квадратний з дисперсії. Підставивши в дані формули зна­чення змінних, обчислимо, що:

БА = 499, оА = 22,3 дні; БВ = 247,7, оу = 15,7 дня.

З розрахованих значень стандартних відхилень можна зробити висновок, що укладення угод з фірмою В менш ризиковане, оскіль­ки і середній термін оплати, і розкид результату для цієї фірми ме­нші. У випадку, якщо необхідно порівняти два варіанти угоди з різ­ними очікуваними результатами і різним ризиком, особливий інте­рес становить показник, який називається коефіцієнтом варіації:

у = о / Я,

де Яа = НЛ • Рі = 68,4 = 68 днів; Яу = НЯ • Рі = 52,7 = 53 днів; у — коефіцієнт варіації; о — стандартне відхилення; Я — очікуваний результат.

Одержаний показник дає характеристику ризику на одини­цю очікуваного результату. Завдяки порівнянню коефіцієнтів варіації двох проектів, вибирається проект із найменшим кое­фіцієнтом.

У нашому прикладі уА = 0,326, а уВ = 0,298. У даному випадку видно, що укладення угоди з фірмою В менш ризиковане. Пере­вага статистичного методу — простота математичних розрахун­ків, а явний недолік — необхідність великої кількості вихідних даних, оскільки чим більший масив вихідних даних, тим точні­ший розрахунок.

Однак статистичним методом неможливо користуватися, як­що досліджуваний об'єкт — нова, недавно зареєстрована компа­нія. Відзначимо, що дисперсія сигналізує про наявність ризику, але при цьому приховує напрямок відхилення від очікуваного значення. Підприємцю часто потрібно знати, що найбільш імові­рно: втрати чи прибуток у результаті здійснення угоди.

Приклад5

Побудова матриці прибутку

Компанія «Смачний сир» — невеликий виробник різних про­дуктів із сиру. Один із продуктів — сирна паста — поставляється в країни ближнього зарубіжжя. Генеральний директор повинен вирішити, скільки ящиків сирної пасти слід виробляти протягом місяця.

Імовірності того, що попит на сирну пасту протягом місяця бу­де 6, 7, 8 чи 9 ящиків, рівні відповідно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Витрати на виробництво одного ящика дорівнюють 45 дол. Компанія продає кожен ящик за ціною 95 дол. Якщо ящик із сирною пастою не продається протягом місяця, то вона псується і компанія не одер­жує доходу. Скільки ящиків треба робити протягом місяця?

Розв'язання

Користуючись вихідними даними, будуємо матрицю гри. Стратегіями гравця 1 (компанія «Смачний сир») є різні показни­ки числа ящиків із сирною пастою, які йому, можливо, варто ви­робляти. Станами природи виступають величини попиту на ана­логічне число ящиків.

Обчислимо, наприклад, показник прибутку, який одержить виробник, якщо він зробить 8 ящиків, а попит буде тільки на 7.

Кожен ящик продається по 95 дол. Компанія продала 7, а ви­робила 8 ящиків. Отже, виторг дорівнюватиме 7 • 95, а витрати виробництва 8 ящиків дорівнюватимуть 8 • 45. Разом прибуток від зазначеного поєднання попиту та пропозиції дорівнюватиме: 7 • 95 - 8 • 45 = 305 дол. Аналогічно проводяться розрахунки при інших поєднаннях попиту та пропозиції.

У підсумку одержимо таку платіжну матрицю в грі з приро­дою (див. табл. 11.5). Як бачимо, найбільший середній очікува­ний прибуток дорівнює 352,5 дол. Він відповідає виробництву 8 ящиків.


Таблиця 11.5

На практиці найчастіше в подібних випадках рішення при­ймаються, виходячи з критерію максимізації середнього очікува­ного прибутку чи мінімізації очікуваних витрат. Дотримуючись такого підходу, можна зупинитися на рекомендації виробляти 8 ящиків, і для більшості ОПР рекомендація була б обґрунтованою.

Однак залучаючи додаткову інформацію у формі розрахунку середньоквадратичного відхилення як індексу ризику, ми може­мо уточнити прийняте на основі максимуму прибутку чи мініму­му витрат рішення.

Згадаємо необхідні для наших досліджень формули теорії ймовірностей:

дисперсія випадкової величини дорівнює В(х) = £р,- (х,- - X )2; середньоквадратичне відхилення а = у]В(х),

де В і X — відповідно символи дисперсії і математичного очіку­вання.

Наводячи відповідні обчислення для випадків виробництва 6, 7, 8 і 9 ящиків одержуємо: 6 ящиків

В(х) = (300 - 300)2 (од + 0,3 + 0,5 + 0,1) = 0; о = 0;

у = о / Я = 0.

ящиків

В(х) = 0,1 • (255 - 340,5)2 + (0,3 + 0,5 + 0,1) • (350 - 340,5)2 = 812,5; о = д/812,5 = 28,5; у = о / Я = 28,5 / 340,5 = 0,08.

ящиків

В(х) = 0,1 • (210 - 352,5)2 + 0,3 • (305 - 352,5)2 + (0,1 + 0,5) • (305 -- 352,5)2 = 4061,25;

о = ^/4061,25 = 63,73; у = о / Я = 63,73 / 352,5 = 0,18.

ящиків

В(х) = 0,1 • (165 - 317)2 + 0,3 • (360 - 317)2 + 0,5 • (355 - 317)2 + + 0,1 • (450 - 317)2 = 5776;

о = л/5776 = 76; у = о / Я = 76 / 317 = 0,24.

Висновок

З поданих результатів розрахунків з урахуванням отриманих показників ризиків — середньоквадратичних відхилень — оче­видно, що виробляти 9 ящиків за будь-яких обставин недоціль­но, тому що середній очікуваний прибуток дорівнює 317 — ме­нше, ніж для 8 ящиків (352,5), а середньоквадратичне відхи­лення (76) для 9 ящиків більше аналогічного показника для 8 ящиків (63,73).

А от чи доцільне виробництво 8 ящиків у порівнянні з 7 і 6 — не очевидно, тому що ризик при виробництві 8 ящиків (о = 63,73) більший, ніж при виробництві 7 ящиків (о = 28,5) і, тим більше, 6 ящиків, де о = 0. Вся інформація з урахуванням очікуваних прибутків і ризиків у наявності. Рішення повинен приймати гене­ральний директор компанії з урахуванням свого досвіду, схиль­ності до ризику і ступеня вірогідності показників імовірностей попиту: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Автори, з огляду на всі наведені числові характеристики випадкової величини — прибутку, схиляються до рекомендації виробляти 7 ящиків (не 8, що випливає з максиміза-ції прибутку без урахування ризику!). Пропонується зробити свій вибір.

Приклад 6

Побудова матриці збитків

Є наступні дані про кількість і ціни вугілля, необхідного взим­ку для опалювання будинку (табл. 16). Вірогідність зим: м'якої — 0,35; звичної — 0,5; холодної — 0,15.



Ці ціни відносяться до купівлі вугілля взимку. Влітку ціна ву­гілля — 6 ф ст за 1 т. У вас є місце для зберігання запасу вугілля до 6 т, заготовлюваного влітку. Якщо потрібно буде взимку до­куповувати вугілля, то воно буде за зимовими цінами. Передба­чається, що все вугілля, яке збережеться до кінця зими, влітку пропаде.

Скільки вугілля влітку купувати на зиму? Яка очікувана варті­сна цінність цього рішення.

Рішення


Побудуємо платіжну матрицю (табл. 11.7).

Як бачимо з табл. 11.8, якнайменша очікувана середня платня припадає на випадок м'якої зими (30,15 ф ст). Відповідно, якщо


не враховувати ступеня ризику, то доцільно влітку закупити 4 т вугілля, а взимку, якщо потрібно, докуповувати вугілля за вищи­ми зимовими цінами.

Якщо продовжити дослідження процесу ухвалення рішення і обчислити середні квадратичні відхилення платні за вугілля для м'якої, звичної і холодної зими, то відповідно одержимо:

для м'якої зими а = 5,357;

для звичної зими а = 2,856;

для холодної зими а = 0.

Мінімальний ризик, природно, буде для холодної зими, проте при цьому очікувана середня платня за вугілля виявляється мак­симальною — 36 ф ст.

Відношення середнього квадратичного відхилення до матема­тичного очікування (середній ризик на той, що витрачається 1 ф ст) для звичної зими складає 2,856 / 31,2 = 0,0915 проти аналогічного показника для м'якої зими, рівного 5,357 / 30,15 = 0,1777, тобто знов відмінність майже в 2 рази.

Ці співвідношення і дозволяють нам рекомендувати закупівлю вугілля, орієнтуючись не на м'яку, а на звичну зиму.

Висновок

Ми схиляємося до варіанта купівлі вугілля для звичної зими, оскільки згідно з табл. 1.3 очікувана середня платня за вугілля, в порівнянні з варіантом для м'якої зими, зростає на 3,5 %, а сту­пінь ризику при цьому виявляється майже в 2 рази меншим (а = 2,856 проти 5,357).

*Ч<гс«ниЯ<г З

МОДЕЛЮВАННЯ ІГРОВИХ СИТУАЦІЙ ДЛЯ ОБҐРУНТУВАННЯ РІШЕНЬ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ