2.3. КОРЕЛЯЦІЙНИЙ АНАЛІЗ

Завданням описової статистики є не лише систематизація емпіричних да­них у вигляді розподілу частот та розрахунки типових показників МЦТ і ва­ріацій ознак MM, а й виявлення зв'язку між змінними, оцінювання його на­пряму та інтенсивності. Порівнюючи різні види зв'язків, можна виділити три типи залежностей між змінними X і Y:

функціональна залежність визначає значення змінної Y від x однозначно;

кореляційна залежність визначає середнє значення змінної Y від x;

стохастична залежність визначає розподіл змінної Y від x.

Отже, найбільш загальною вважається стохастична залежність. Кореля­ційна залежність є залежністю стохастичною, функціональна - розглядається як окремий випадок кореляційної залежності.

Сутність кореляції

Кореляція (від лат. correlatio - співвідношення) - це статистична залеж­ність між випадковими величинами, що носить імовірнісний характер.

Кореляційні зв'язки можна вивчати на якісному рівні з діаграм розсіяння емпіричних значень змінних X і Y (рис. 2.51) і відповідним чином їх інтер­претувати. Так, наприклад, якщо підвищення рівня однієї змінною супрово­джується підвищенням рівня іншої, то йдеться про позитивну кореляцію або прямий зв'язок (рис. 2.51 а, б). Якщо ж зростання однієї змінної супроводжу­ється зниженням значень іншої, то маємо справу з негативною кореляцією або зворотним зв'язком (рис. 2.51 г, ґ). Нульовою називається кореляція за відсутності зв'язку змінних (рис. 2.51 в). Проте нульова загальна кореляція


а) тху = +1,00 б) тху ~ +0,88 в) тху ~ 0

може свідчити лише про відсутність лінійної залежності, а не взагалі про від­сутність будь якого статистичного зв'язку .

г) тху ~ -0,60  г) тху = -1,00  д)

Рис. 2.51. Діаграми розсіяння емпіричних значень змінних Xі У:

а) строга позитивна кореляція; б) сильна позитивна кореляція; в) нульова кореляція; г) помірна негативна кореляція; ґ) строга негативна кореляція; д) нелінійна кореляція

У психолого-педагогічних дослідженнях здебільшого спостерігаються зв'язки нелінійні (див. рис. 2.51 д). Наприклад, зростання мотивації спочатку підвищує ефективність навчення, а потім наступає зниження продуктивності (ефект «перемотивації» - закон Иеркса-Додсона). Кількісна міра кореляцій­ного зв'язку оцінюється за значеннями коефіцієнтами кореляції у межах від -1 до +1. Від'ємні значення коефіцієнтів указують на зворотний зв'язок, дода­тні - на прямий. Нульове значення може свідчити про відсутність зв'язку. Ін­тенсивність зв'язку (слабкий зв'язок - помірний - суттєвий - сильний) оціню­ється за абсолютним значенням коефіцієнтів кореляції.

Методи розрахунку міри кореляційних зв'язків тісно пов'язані із вжива­ними вимірювальними шкалами (табл. 2.4) .

Таблиця 2.4

Коефіцієнти кореляції залежно від типів вимірювальних шкал

 

 

Шкали ознаки У

Шкали ознаки X

Інтервальна (відношень)

Рангова

Номінальна

Інтервальна (відношень)

Коефіцієнт Пірсона тху ■

Дихотомічний коефіцієнт кореляції <р ;

Тетрахоричний коефіцієнт кореляції тш

 

 

Рангова

Коефіцієнт Спірмена т„ (при умові, якщо для х шкалу інтервалів або відношень перетворити в ранго­ву шкалу)

Коефіцієнти кореляції Спірмена г»

т Кендалла; Коефіцієнт конкордації У

 

Номінальна

Точково-бісеріальний коефіцієнт кореляції ТрЬ-Бісеріальний коефіцієнт кореля­ції тЬїї

Рангово-бісеріальний коефіцієнт кореляції ТЬ

Коефіцієнт асоціації Ф;

Коефіцієнт контингенції Юла 2;

Коефіцієнти спряженості Чупрова К

і Пірсона С

 

Вивчення зв'язку між ознаками, які приймають випадкові значення, почи­нається з оцінювання його лінійності.

Лінійна кореляція

Лінійний кореляційний зв'язок для емпіричних даних, виміряних за шка­лою інтервалів або відношень, оцінюється за допомогою коефіцієнта кореля­ції Пірсона тху

п                                             

Тху = Іп'^1    _     п       _   ,   (2.22)

,Е (х, - X)2-X (у, - у)2

8 Зазначені методи розрахунку з використанням комп'ютерної техніки можна знайти у підручнику [56].

де Хі і у і - значення змінних x і У; х і у - середні x і У; п - обсяг вибірки.


Формула (2.22) може бути перетворена, якщо замінити значення змінних Хі і у і нормованими значеннями 2х і гу, і виглядатиме так:


т  — _ь1         

ху        п -1


(2.23)


 


дє 2х


х - X


і 2У


- нормовані значення змінних x і У.


х          у

Приклад 2.7. Оцінити зв'язок між змінними x і У за емпіричними даними таблиці рис. 2.52 двома способами з використанням формул (2.22) і (2.23). Спосіб 1.

Послідовність рішення:

• оцінити характер лінійності зв'язку між ознаками x і У за допомогою діаграми розсіяння (рис. 2.52);



• переконатися, що кореляція лінійна, і продовжити розрахунки коефіці­єнта кореляції Пірсона тху (рис. 2.53 і 2.54);

у комірках В16 і С16 розрахувати середні значення х і у

J           ^          _

х = і      хі = 112,00;       у = 1     уі = 18,17;

п   ¿=1 п   і=1

• у комірках      і в15 розрахувати суми квадратів різниць: X (х, - х)2 = 386,00;        £ (у, - у)2 = 311,67; 59


 

А         В    І    С

D    |    Е          F           G                Н

1

Емпіричні дані

Розрахунки

2

]'

Ii

уі

 

 

Оз-Х)2

(уі-г?

(хі - Xjxr>i -¥)

3

1

113

10

1,00

-8,17

1,00

66,69

-8,17

4

2

114

15

2,00

-3,17

4,00

10,03

-6,33

5

3

106

20

-6,00

1,83

36,00

3,36

-11,00

ш

4

108

15

-4,00

-3,17

16,00

10,03

12,67

7

5

120

24

8,00

5,83

64,00

34,03

46,67

CO

6

104

11

-8,00

-7,17

64,00

51,36

57,33

9

7

116

20

4,00

1,83

16,00

3,36

7,33

10

8

112

20

0,00

1,83

0,00

3,36

0,00

11

 

110

18

-2,00

-0,17

4,00

0,03

0,33

12

10

118

24

6,00

5,83

36,00

34,03

35,00

13

11

103

14

-9,00

-4,17

81,00

17,36

37,50

14

12

120

27

8,00

8,83

64,00

78,03

70,67

15

Суми:

1344

218

0,00

0,00

386,00

311,67

242,00

16

Середні:

112,00

18,17

 

 

 

 

 

17

 

0,70

 

 

 

 

 

 


 

9


Рис. 2.53. Результати розрахунку коефіцієнта кореляції rxy у комірці H18 розрахувати суму добутків різниць:

X (xi - X) • (yi - У) = 242,00;

¿=1

у комірці В17 розрахувати коефіцієнт кореляції    за формулою:

242,00

« 0,70.

V386,00 • 311,67


Подпись: Рис. 2.54. Розрахункові формули Значення г,у ~ +0,70 свідчить про суттєвий прямий зв'язок між ознаками.

 

А

в

с

D

е

f

G

н

1

Емпіричні дані

Розрахунки

2

з'

13

уі

(іі-Х)

(уі-ї)

(із-Х)2

і/з-TO2

(із - Х)х(>з -Y)

3

1

113

10

=ВЗ-В$16

=СЗ-СЇ16

=D3"2

=E3n2

=D3*E3

4

2

114

15

=В4-В$16

=С4-С$1б

=D4n2

=Е4Л2

=D4*E4

5

3

106

20

=В5-В$16

=CJ-C$16

=D5n2

=E5n2

=D5*E5

ш

4

108

15

=В6-В$16

=с6-сц6

=D6n2

=E6n2

=D6*E6

7

5

120

24

=В7-В$16

=С7-С$16

=D7n2

=E7n2

=D7*E7

OD

6

104

11

=В8-В$16

=С8-С$1б

=DS"2

=E8n2

=DS*E8

9

7

116

20

=В9-В$16

=С9-С$16

=D9n2

=E9n2

=D9*E9

10

8

112

20

=В10-В$16

=С10-С$16

=D10A2

=E10n2

=D10*E10

11

9

110

18

=В11-В$1б

=С11-С$1б

=DUA2

=Е11Л2

=DU*E11

12

10

118

24

=В12-В$16

=С12-С$16

=D12A2

=Е12Л2

=D12*E12

13

11

103

14

=В13-В$1б

=С13-С$16

=D13"2

=E13n2

=D13*E13

14

12

120

27

=В14-В$16

=С14-СШ

=D14A2

=Е14Л2

=D14*E14

15

Суми:

=СУММ(ВЗ:В14)

=СУММ(СЗ:С14)

=СУММ(с

=СУММ(Е

=СУММ

=СУММ

=СУММ(НЗ:Н14)

16

Середні:

=СРЗНАЧ(ВЗ:В14)

=СРЗНАЧ(СЗ:С14)

 

 

 

 

17

J> =

=H15/KOPEHb(F15*GlJ)

 

 

 

 

Спосіб 2.

Послідовність рішення:

• Результати розрахунку гху за нормованими даними показано на рис. 2.55, розрахункові формули рис. 2.56.

 

 

А               В               С

0                Е

1

Первині емпіричні дані

Нормовані дані

2

і

 

Уі

 

гу

3

1

113

10

0,17

-1,53

4

2

114

15

0,34

-0,59

5

3

106

20

-1,01

0,34

6

4

103

15

-0,68

-0,59

7

5

120

24

1,35

1,10

8

6

104

11

-1,35

-1,35

9

7

116

20

0,68

0,34

10

8

112

20

0,00

0,34

11

9

110

її

-0,34

-0,03

12

10

118

24

1,01

1,10

13

11

103

14

-1,52

-0,78

14

12

120

27

1,35

1,66

15

Суми:

1344

218

 

 

16

Середні:

112,00

18,17

0,00

0,00

17

Ст. бідхип.

5,92

5,32

1,00

1,00

18

 

0,70

 

 

 

Рис. 2.55. Результати розрахунку гху за нормованими даними • у комірках В16 і С16 розрахувати середні значення х і у;

• у комірках В17 і С17 розрахувати стандартні відхилення 8х і sy;

 

 

А

в

с

Е

1

Первині емпіричні дані

Нормовані дані

2

і

 

Уі

 

гу

ш

1

113

10

=(ВЗ-В$1вуВ$17

=(СЗ-С$16)/СЛ7

4

2

114

15

=(В4-В$1буВ$17

=(С4-С$16УС$17

5

3

106

20

=(В5-В$1буВ$17

=(С5-С$16)/СШ

сп

4

108

15

=(В6-В$16УВ$17

=(С6-С$16~)/СЇ17

7

5

120

24

=(В7-В$16)/В$17

=(С7-С$16)/СЇ17

8

6

104

11

=(В8-В$16)/В$17

=(С8-С$16)/С$17

сп

7

116

20

=(В9-В$1б)/В$17

=(С9-С$16)/СЇ17

10

8

112

20

=(В10-В$1вуВ$17

=(С10-С$16)/СЛ7

11

9

110

18

=(ВП-В$1буВ$17

=(С11-С$16УС$17

12

10

118

24

=(В12-В$16УВ$17

=(С12-С$16~)/СЇ17

13

11

103

14

=(В13-В$16УВ$17

=(С13-С$16)/СЇ17

14

12

120

27

=(В14-В$16)/В$17

=(С14-С$16)/СЇ17

15

Суми:

=СУММ(ВЗ:В14)

=СУММ(СЗ:С14)

 

 

16

Середні:

=СРЗНАЧ(ВЗ:В14)

=СРЗНАЧ(СЗ:С14)

=СРЗНАЧ(І)3:Б14)

=СРЗНАЧ(ЕЗ:Е14)

17

Ст. відшп.

=СТАНДОТКПОН

=СТАНДОТКПОН

=СТАНДОТКПОН(Т_)3 В14)

=СТАНДОТКЛОН(ЕЗ:Е14)

18       >> =

=СУММПРОИЗВ(Т)ЗЛ14,ЕЗ:Е14)/(СЧЕТ(АЗ:А14)-1)

Рис. 2.56. Формули розрахунку гху за нормованими даними • у стовпчиках Б і Е розрахувати нормовані дані 2х і 2у (зверніть увагу,

що середнє нормованих даних дорівнює 0, а стандартне відхилення - 1,00);

•           у комірці В18 розрахувати коефіцієнт кореляції rxy за формулою (2.23);

Висновки. Одне те саме значення rxy ~ +0,70 розраховано двома способа­ми. Методи розрахунку за нормованими даними виглядають більш лаконіч­но. Значення парного коефіцієнта кореляції Пірсона rxy можна також отрима­ти за допомогою спеціальної функції MS Excel =ПИРСОН().

Нелінійна кореляція

Приклад 2.8. Оцінити зв'язок між віком (змінна X) і результатами допомі­жного тесту «цифра-знак» шкали інтелекту дорослих Векслера (змінна Y). Упорядковані за віком дані 15 осіб представлено у таблиці рис. 2.58.

Послідовність рішення:

•           оцінити характер лінійності (нелінійності) зв'язку між значеннями ознак віку (X) і тесту (Y) за допомогою діаграми розсіяння (рис. 2.57);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тест,y

 

14

12 -10 -

8 -6 -4 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10141822  26303438 Вік

 

Рис. 2.57. Діаграма розсіяння ознак

• переконатися, що кореляція нелінійна - спочатку результати тестуван­ня круто зростають для осіб віком від 10 до 22 років, досягають максималь­ного значення, а потім повільно зменшуються. Якісна картина дає підстави для застосування кількісної міри нелінійності - кореляційного відношення, чисельне значення якого знаходиться у межах від 0 до 1:


Подпись: (2.24)

внутрішньогрупова сума квадратів відхи-

*7у,х - 1     33енутр / ^
П         П         _

дє 33енутр =Т Яі = Е (уі ~ У)


і=1


і=1


лень у і від середнього у; 5Бзагап = я у ■ (п -1) - загальна сума квадратів;

розрахувати квадрати різниць яі окремо для кожної вікової групи (віко­ві групи виділено зафарбованими рядками, результати розрахунків і відпові­дних формул показано на рис. 2.58 і 2.59);

внести у комірку Б3 вираз =(С3-СРЗНАЧ($С$3:$С$4))Л2. Аналогічний вираз внести у комірки     (вікова група 10 містить лише два значення тесту);


 

 

А

В

С

0

1

 

Вік

Тест

 

2

]

у і

Уі

3

1

10

7

1,00

4

2

10

9

1,00

5

3

14

8

0,00

спі

4

18

9

1,00

7

5

18

11

1,00

со

6

22

11

0,00

9

7

22

11

0,00

10

8

26

9

1,00

11

9

26

11

1,00

12

10

ЗО

9

0,11

13

11

ЗО

9

0,11

14

12

ЗО

10

0,44

15

13

34

7

1,00

16

14

34

9

1,00

17

15

38

8

0,00

18

 

 

ЗЙБНуТр =

8,67

19

 

 

 

26,40

20

Кореляційне відношення у\2 Уі* -

0,67

21

Коефіцієнти

від 10 до 38

-0,04

22

бід 10 до 22

0,83

23

КОрЄПЯЦ11 для БІКу

бід 26 до 33

-0,69


 

 

 

А

В

С

0

1

 

Вік

Тест

 

2

]

у-і

Уі

Зі

3

1

10

7

=(СЗ-СРЗН АЧ($С$3 :ЇС$4))"2

4

2

10

9

=(С4-СРЗН АЧ($С$3 :ЇС$4))"2

5

3

14

8

=(СІ-СРЗНАЧ($си:ЇС$5»п2

6

4

18

9

=(С6-СРЗН АЧ($С$6 :$С$7))"2

7

5

18

11

=(С7-СРЗНАЧ5С$6:$С$7))П2

8

6

22

11

=(С8-СРЗНАЧ($С$8:$С$9))"2

9

7

22

11

=(С9-СРЗНАЧ($С$8:$С$9))"2

10

8

26

9

=(СЇ0-СРЗНАЧ(ЇС$10:$С$11))"2

11

9

26

11

=(С11-СРЗНАЧ(ЇС$10:$С$11))"2

12

10

30

9

=(С 12-СРЗН АЧ(ІС$ 12 :$С 114))"2

13

11

30

9

=(С 13-СРЗН АЧ($С$ 12 :$С$ 14))"2

14

12

30

10

=(С 14-СРЗН АЧ($С$ 12 :$С$ 14))"2

15

13

34

7

=(С 11-СРЗН АЧ($С$ 1 і :$С$ 16))"2

16

14

34

9

=(С 16-СРЗН АЧ($С$ 13 :$С$ 16))л2

17

15

38

8

=(С17-СРЗНАЧ($СШ:$С$17»Л2

18

ЗЗвнутр =

=СУММ(Г)3:П17)

19

33загап =

=ДИСЩСЗ :С 17)* (А 17-1)

20

Кореляційне відношення у\2 у^ -

=1-Б18ЯЛ9

21

Коефіцієнта

бід 10 до 38

=ПИРСОН(ВЗ:В17;СЗ:С17)

22

бід 10 до 22

=ПИРСОН(ВЗ:В9;СЗ:С9)

23

 

бід 26 до 38

=ПИРСОН(В10:В17,С10:С17)


Рис. 2.58. Кореляційне відношення г)1 ті 0,67

Рис. 2.59. Формули розрахунку кореляційного відношення г/^х


 


9


визначити яі для інших вікових груп, де х = 14, 18, 22, 26, 30, 34 і 38; у комірці Б18 розрахувати 33вн}тр (вираз =СУММ(03:017)); у комірці Б19 розрахувати 88шгал (вираз =ДИСП(С3:С17)*(А17-1)); у комірці 020 отримати відношення цухс (внести вираз =1-018/019); у комірці 021 розрахувати коефіцієнт кореляції Пірсона для всього ма-


сиву за допомогою функції MS Excel =ПИРСОН(Б3:Б17;С3:С17). Коефіцієнт

кореляції дорівнюватиме приблизно нулю (гху ~ -0,04), що свідчить про (ні­бито) відсутність будь-якого зв'язку між змінними;

• розрахувати коефіцієнти кореляції окремо для частин масиву: у комір­ці Б22 для віку від 10 до 22, у комірці Б23 для віку від 26 до 38 .

Отже, для віку від 10 до 22 років коефіцієнт кореляції має високе додатне значення (гху^+0,83), що підтверджує прямий зв'язок, який можна спостеріга­ти на діаграмі. Для віку від 26 до 38 років коефіцієнт кореляції має від'ємне значення (^=—0,69), що інтерпретується як зворотний зв'язок. Значення ко­реляційного відношення « 0,67 підтверджує високій рівень не лінійності зв'язку змінних X У.

Слід звернути увагу на те, що для коефіцієнта п2ухс спочатку вказують ін­декс у, а потім - х, який є мірою прогнозування У по X. Важливо зазначити, що для лінійного кореляційного зв'язку виконується співвідношення гху = гух, проте п2ухс і п2ху матимуть різні значення. Якщо звернутися до діаграми розсі­яння (рис. 2.57), то можна відзначити той факт, що для особи, наприклад, ві­ком 10 років (Х=10), можна прогнозувати середню оцінку тесту у 8 балів (У=(7+9)/2=8), у той час як для оцінки тесту, наприклад, у 8 балів вік особи може бути як близько 10, так і близько 38 років.

Розрахунки важливих для психолого-педагогічних досліджень коефіцієн­тів кореляції приведено разом з оцінкою їхньої вірогідності у розділі 5.6.

Коефіцієнти взаємної зв'язаності

Коефіцієнти взаємної зв'язаності, наприклад, Чупрова К і Пірсона с за­стосовуються для оцінки зв'язку у ситуаціях, коли кожна якісна ознака скла­дається більш ніж з двох груп. Коефіцієнт Чупрова К використовується у разі неоднакової кількості рядків і стовпчиків таблиці спряженості (к, Ф к2):



(2.25)


де к1 і к2 - кількість груп першої і другої ознаки (параметри Xі У). Коефіцієнт взаємної зв'язаності Пірсона С застосовується, коли кількість рядків і кількість стовпців у таблиці спряженості збігаються (к; = к2):


 

С-


<Р2


Де


<р2


 

Подпись: к 2 х=1

к1

У=1


 

ху

( к2 Л,2 ^


-1.


(2.26)


 

Значення коефіцієнтів Чупрова К і Пірсона С змінюються від 0 до 1. Приклад 2.9. Оцінити зв'язаність між приналежністю осіб до певної соці­альної групи та їх психічними станами (табл. 2.5).

Таблиця 2.5

Розподіл груп за психічними станами

 

 

 

Соціальні групи (параметр У)

Психічні стани (параметр X)

Всього:

Монотонія

Нудьга

Самотність

Астенія

студенти

10

43

7

5

65

службовці

42

14

25

6

87

пенсіонери

51

11

10

33

105

Всього

103

68

42

44

257

 

Послідовність рішення:

•           Для ситуації з неоднаковою кількістю рядків і стовпчиків (к; Ф к2) вико­ристати коефіцієнт взаємної зв'язаності Чупрова К.

•           Внести емпіричні дані у таблицю рис. 9.20 і виконати такі дії: - розписати докладніше вираз <р2, виходячи з умов к. = 3 і к2 = 4:


Подпись: к 2

х=1

^2 = 1

У=1


 

х=1


 

ч х ;


-1 = -


<п2 > х

п1


к2

х=1


(п2 > х

пх

п2


к2 І

х=1


(п2 > х

пх

п3


-1.   (2.27)


 

- розрахувати окремі складові (рис. 2.60 і 2.61):


Л.2 А


 

л


1=1


п


ху


32    92    32    12 14   12    8    11 16


 

*0,538-
7          5


 


 

л2


 

2

1=1


'п2 >

п

п


81 21 41 21

14    12    8     11

16


-0,454-


 

л


1=1


(п2 >


 

13

32 12 12 82 — + — + — + — 14   12    8    11


0,513.



Подпись: Рис. 2.61. Формули для розрахунку коефіцієнта Чупрова К ■ визначити параметр ф2:

 

 

А

В

с

 

Е

 

1

Соціальні групи

Психічні стани (параметр X)

Всього:

2

(параметр У)

Монотонія

Нугьга

Самотність

Астенія

3

студенти

3

9

3

1

=СУММ(ВЗ:ЕЗ:

4

службовці

3

2

4

2

=СУММ(В4:Е4

5

пенсіонери

3

1

1

8

=СУММ(В5:Е5;

6

Всього

=СУММ(ВЗ:В9

=СУММ(СЗ:С5)

=СУММ(03:05)

=СУММ(ЕЗ:Е5)

=СУММ(РЗ:ЕЇ)

7

к! =

=СЧЕТ(ВЗ:ВЇ)

 

8

к2 =

=СЧЕТ(ВЗ:ЕЗ)

 

9

Лі =

=(ВЗ"2Ж$6-н;Зп2/С$6+ПЗп2Ю$6+ЕЗп2дафЛ;3

 

10

А2 =

=(В4"2Ж$6-н;4п2/С$6+П4п2Ю$6+Е4п2дафЛ;4

 

11

Аз'

=(В5"2Ж$6-н;5п2/С$6+п;"2Ю$6+Е5п2дафЛ;і

 

12

,2 =

=СУММ(В9:ВП)-1

 

13

К =

=КОРЕНЬ((В 12)ЖОРЕНЬ((В7-1) *(В8-1)))

 


<р2 = 0,538+0,454+0,513-1 = 0,505. - отримати чисельне значення коефіцієнта взаємної зв'язаності Чупрова К

К -I      -і ,   0,505      - 0,45.

У(кі - 1)(к2 -1)    V л/(3 " 1)(4 -1)

Висновки. Значення коефіцієнта Чупрова К ~ 0,45 свідчить про помірну взаємну зв'язаність між параметрами У і X. Направлення зв'язаності коефіці­єнт К не вказує. Це можна оцінити за формою спільного розподілу.

Запитання. Завдання.

Що таке кореляція? Охарактеризуйте особливості кореляційного зв'яз­ку.

Які види зв'язків (три типи залежностей) між змінними X і У можна виділити?

Доведіть, що вибірковий коефіцієнт кореляції є випадковою величи­ною.

Який кореляційний зв'язок називають прямим, а який - зворотним?

Як якісно оцінити лінійність (нелінійність) кореляції?

В яких межах знаходиться чисельне значення коефіцієнтами кореляції?

Як кількісно оцінити лінійність (нелінійність) кореляції?

Запишіть формулу коефіцієнта лінійної кореляції Персона.

В яких межах знаходиться чисельне значення кореляційного відношен­ня?

Охарактеризуйте особливості використання коефіцієнтів взаємної зв'язаності Чупрова К і Пірсона С.

В яких межах знаходиться значення коефіцієнтів взаємної зв'язаності Чупрова К і Пірсона С?

Повторіть математичні процедури завдань за прикладами 2.7 - 2.9.

Виконайте лабораторні роботи № 4 - № 6.