3.1. ВИПРОБУВАННЯ ТА ПОДІЇ

Основні поняття і означення

З точки зору теорії ймовірностей дослідження властивостей генеральної сукупності шляхом вивчення властивостей вибірки виконують за допомогою моделювання ситуації випадкових подій, отриманих у результаті випробувань.

Випробування - це здійснення певних дій або умов, які можна відновити довільне число разів (наприклад, виконання студентами або учнями тесту).

Елементарна подія (ю) - можливий результат випробування (наприклад, результат виконання одного завдання: «виконано» - «не виконано», «1» -«0»). Поняття елементарної події належить до основних понять теорії ймові­рностей і не визначається через інші простіші поняття.

Сформулюємо спочатку основні поняття алгебри подій, пов'язаних з ви­пробовуваннями, на описовому рівні.

Сукупність усіх можливих елементарних подій {а>1, а>2, соп} утворює простір елементарних подій єО.). Запис у дужках читається: «Елемен­ти ю належать до простору О». У подальшому вважатиме, що простір елеме­нтарних подій О є величина скінчена.

Випадковою подією А називається всякий результат випробування, що може відбутися або не відбутися. Випадковою може бути як елементарна подія ю (наприклад, результат виконання студентом одного завдання), так і сукупність { £оь а>2, сот} із простору подій {а>ь а>2, соп} (наприклад, ви­конання декількох т завдань із п запропонованих, де т < п). Для випадкової події А можна записати А(со є А), тобто елементи ю належать до події А. У свою чергу подія А(А єО.) належить до простору подій О.

Достовірною є подія V, яка у випробуванні неодмінно повинна відбутися.

Неможливою називається подія V, яка у випробуванні не може відбутися.

Подія А називається протилежною події А, якщо вона полягає в непояві події А.

Добутком А ■ В подій А і В називається подія С, що полягає в спільній по­яві і події А, і події В, тобто С = А ■ В.

Сумою А + В подій А і В називається подія С, що полягає в появі хоча б однієї з подій А або В, тобто С = А + В.

Події називаються незалежними, якщо настання однієї ніяким чином не впливає на появу іншої, інакше вони є залежними.

Події є несумісними, якщо в результаті випробовувань вони не можуть відбутися одночасно інакше вони вважаються сумісними. Ніякі дві несумісні події не можуть відбутися разом.

Повною групою подій називається така сукупність попарно несумісних подій, для якої їхня сума є достовірною подією О. Інакше кажучи, у резуль­таті випробовувань для повної групи декількох подій неодмінно повинна від­бутися хоча б одна з них.

Отже, першим кроком при побудові імовірнісної моделі реального явища є виокремлення у випробуваннях можливих як елементарних, так і складних випадкових подій, визначення їхніх властивостей (залежні - незалежні, сумі­сні - несумісні і т.п.), а також можливих результатів операцій над подіями (суми, добутку, доповнення та ін.). Проте, представлений вище понятійний апарат алгебри подій на описовому рівні не здатний до кількісної оцінки цих подій, а, значить, не дає коректної можливості у побудові імовірнісних моде­лей об'єктів реальності.

Прийнятий у сучасній математичній науці аксіоматичний підхід до теорії ймовірностей, розробником якого був Андрій Миколайович Колмогоров (1903-1987), базується на теорії множин. І хоча основи теорії ймовірностей було сформовано раніше (ХУН-ХУШ ст.), ніж створено теорію множин (в основному в XX ст.), остання дає можливість розглядати теорію ймовірнос­тей і математичну статистику як невід'ємну частину математики, проводити докази, доводити теореми, формулювати означення на рівні математичної строгості. Проілюструємо основні операції над подіями за допомогою мате­матичного апарату теорії множин.

Операції над подіями

Основні операції над подіями можна продемонструвати прикладами алге­бри подій - алгебри Буля - у вигляді діаграм Венна (рис. 3.1).

0

а) В належить О     б) слідування     в) еквівалентність    г) протилежність
В єП    А с: В  Р=В     в =0\В

В і С сумісні події:    В і В несумісні події:

добуток В-С   сума В+С       добуток В-В   сума В+В

г) перетин        д) об'єднання           е) перетин      є) об'єднання

В п с   В Ц с       І     в п в= 0            В Ц в

Рис. 3.1. Операції над подіями

З математичної точки зору події розглядаються як підмножини (А, В, С, ...) множини О елементарних подій ю. Отже, простір елементарних подій - це деяка множина О, а елементарні події - це її елементи ю.

Операції над подіями можна розглядати як операції над відповідними під-множинами, наприклад, підмножиною А і підмножиною В повної множини О елементарних подій ю.

Якщо в результаті випробувань відбувається елементарна подія ю, яка на­лежить множині А, то стверджується, що подія А також відбулася.

Розглянемо основні операції над подіями з точки зору теорії множин.

Приклад 3.1. Задано простір елементарних подій (множина О) як сукуп­ність натуральних чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. У результаті випробувань зафіксовано низку подій. Події А, В, С, В і Б як підмножини множини О включали такі елементи: А={2,3}; В={2,3,4,5}; С={3,4,5,6}, В={6,7,8,9} і Б={2,3,4,5}. З'ясувати властивості основних операції алгебри подій.

Рішення:

а)         за умовами прикладу всі елементи підмножини В={2,3,4,5} належать
до множини ¿^={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. За аналогією до операцій над множи-
нами це значить, що і відповідна подія В належить до простору подій £Г2,
тобто В <еО. (рис. 3.1а);

б)         усі елементи підмножини ^4={2,3} належать до підмножини
В={2,3,4,5}, тому у разі появу події А відбуватиметься і подія В. У цій ситуа-
ції можна стверджувати, що у разі здійснення подія А спричинює появу події
В. Таку операцію називають «слідування» і записують як А с В (рис. 3.16);

в)         підмножини Р і В складаються з однакових елементів: В={2,3,4,5} і
Р={2,3,4,5}. Це значить, що подія В завжди спричинює появу події Р, тоб-
то В с Р. У свою чергу подія Р спричинює появу події В, тобто Р с В . Отже,
події Рі В еквівалентні. Еквівалентність подій записують як Р=В (рис. 3.1в);

г)         подія В, яка відбувається, коли не відбувається подія В, називається
протилежною події В. Протилежність події В визначається як доповнення
підмножини В, тобто В = О \ В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \ {2,3,4,5}={1, 6, 7, 8,
9}. Звідси В = {1, 6, 7, 8, 9} (зафарбована площа на рис. 3.1г);

ґ) добуток В-С подій В і С - це подія, що полягає в спільній появі і події В, і події С. Добуток подій визначається перетином відповідних множин В і С: ВП С = {2,3,4,5} П {5,6,7,8}={5}. Добуток подій В-С має місце, коли деякі підмножини елементарних подій належать як множині В, так і множині С (рис. 3.1г). У прикладі спільною підмножиною є елементарна подія ю ={5};

д)         сума В+С подій В і С - це подія, що полягає в появі хоча б однієї з по-
дій або В, або С. Сума подій визначається операцією об'єднання відповідних
множин В і С: В и С = {2,3,4,5} и {5,6,7,8}={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Отже сума по-
дій В+С має місце, коли відбувається хоча б одна якась елементарна подія ю з
підмножини {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (див. рис. 3.1д);

Добуток подій В-С і сума подій В+С, визначених вище за аналогією опе­рацій теорії множин (рис. 3.1 ґ, д ), мають місце для так званих сумісних по­дій B і C, які можуть відбуватися разом. Проте події, які в результаті випро­бовувань не можуть відбутися одночасно, є несумісними. Операції добутку несумісних подій B-D і суми цих подій B+D продемонстровано на рис. 3.1е, є;

е) за умовами прикладу добуток несумісних подій B-D визначається пе­ретином відповідних множин В і D: B Г| D = {2,3,4,5} Г| {6,7,8,9}={}=0. В ре­зультаті отримаємо так звану порожню підмножину 0, якій відповідає не­можлива подія. Як бачимо з рис. 3.1е, підмножини В і D не мають спільних елементів - вони несумісні. Отже добуток несумісних подій В-С є неможли­вою подією;

є) сума В +D несумісних подій В і D визначається об'єднанням відповід­них множин В і D: B U D = {2,3,4,5} ЦІ {6,7,8,9}={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Сума не­сумісних подій включає всі елементарні події кожної окремої події (рис. 3.1 є).

Відповідність термінів теорії ймовірностей і теорії множин


Таким чином, операції над подіями можна розглядати як операції над від­повідними підмножинами. Алгебра подій ізоморфно відтворюється на алгеб­рі множин. Однак у теорії ймовірностей для позначення власних понять ви­користовуються свої терміни, які дещо відрізняються від термінів теорії множин. Відповідність між термінологічними рядами цих двох математичних дисциплін можна представити за допомогою табл. 3.1.

Ймовірність подій

Випадкову подію можна передбачити лише з деякою ймовірністю.

Ймовірність події - це чисельна міра об'єктивної можливості цієї події (інтуїтивне означення ймовірності). Ймовірність події А позначається Р(А). Якщо здійснювати різноманітні випробування, то можна констатувати, що різні випадкові події можуть мати різну можливість появи.

Ймовірність неможливої події U дорівнює нулю, P(U) = 0.

Ймовірність достовірної події V дорівнює одиниці, P(V) = 1.

Отже, ймовірність Р(Л) будь-якої випадкової події А знаходиться між ну­лем і одиницею: 0<Р(Л) <1.

Інколи події можна вважати рівноможливими, якщо за умовами випро­бувань відсутні підстави вважати деякі з них більш можливими, аніж будь-які інші. Якщо декілька подій: 1) утворюють повну групу; 2) несумісні; 3) рі-вноможливі, то вони мають назву «випадки».

Класична ймовірність події А - це число Р(Л), до якого наближається відно­шення кількості появлень бажаної події А до загальної кількості можливих подій вибіркового простору при збільшенні незалежно виконаних випробовувань:

_ кількість _ появлень _ бажаної _ події _ Л

P(Л) = :    :      ттт-.     (3.1)

загальна _ кількість _ можливих _ подій

Якщо результати досліду зводяться до схеми випадків, то ймовірність по­дії А обчислюється як відносна частота здійснення події А:

P( A) = m,       (3.2)

n

де m - кількість появлень бажаних випадків або сприятливих подій; n - загальна кількість випадків.

Отже, для випадкової вибірки обсягом n відносні частоти f¡(x)=m/n мож­на трактувати як ймовірності р(х) появи значень варіант x¿.

Приклад 3.2. Знайти чисельне значення ймовірності Р(А) події А, що сту­дент на іспитах з 20 рівноможливих білетів (це загальна кількість випадків) витягне з першого разу білет №7 (бажаний вибірковий об'єкт).


Рішення: Кількість появлень бажаних подій m=1, загальна кількість випа­дків n=20. Значення ймовірності Р(А) події А - це відношення m / n:

Р( A) = m = — = 0,05 = 5%. n    20

Відповідь: ймовірність витягти з першого разу білет №7 складає 0,05 або 5%.

Приклад 3.3. Студент знає відповідь лише на 5 екзаменаційних білетів і не знає відповіді на решту 15 білетів. Яка ймовірність того, що перший витягну­тий навмання білет виявиться таким, на який студент знає відповіді?

Рішення: Загальна кількість білетів складає 5+15=20 (n=20), сприятливих для студента результатів всього 5 (m=5). Звідси ймовірність бажаної події:

P( A) = m = — = 0,25 = 25% n    20

Відповідь: ймовірність витягти бажаний білет складає 0,25 або 25%.

Отже, ймовірність події є основним поняттям теорії ймовірності, проте розглянуті класичні означення ймовірностей, а також наведені приклади да­ють лише загальне інтуїтивне уявлення щодо оцінки та прогнозування ймові­рності. Ці методологічні підходи не дають строгих чисельних значень. Не всі події можна вважати рівноможливими, не всі ймовірності можна оцінювати як збіжності частот, неясно і те, скільки випробовувань треба здійснювати та ін.

Розглянемо означення ймовірності у рамках аксіоматичного підходу до математичної моделі, що була запропонована A.M. Колмогоровим.

Означення. Ймовірність. Нехай скінчена множина Q={co} є простором елементарних подій ю, що відповідають деякому стохастичному9 дослідові. Нехай кожній елементарній події ю, яка належить до множині Q, тобто йєП, поставлено у відповідність невід'ємне число Р(со), тобто Р(со)>0. Чис­ло Р(а>) означимо як імовірність елементарної події т, причому сума ймові­рностей всіх елементарних подій дорівнює 1, тобто:

£ РИ = 1.         (3.3)

weQ

9 Стохастичний (від грец. stochastikos - спроможний угадувати), випадковий, імовірнісний.

81

Пара {Q, Р} є імовірнісним простором, який складається зі скінченої


множини О і невід'ємної функції Р, яка визначена на множині О і задоволь­няє умові (3.3). Звідси ймовірність Р(А) деякої події А дорівнює сумі ймовір­ностей елементарних подій ю, що входять до події А:

Р( А) = £ Р(а>).          (3.4)

Тоді будь-яку числову функцію Р(А), визначену на скінченій множині П={со}, яка є простором елементарних подій ю, називають імовірністю, якщо виконуються три умови (аксіоми Колмогорова):

Р(А) >0 для будь-якої А є О.;

ДП)=1;

Р(А1 иА2иМ и■■■) =          Р(А2)+ Р(А3)+... для попарно несуміс­них випадкових подій (А;р| А) = 0, і Ф .)).

Отже, сконструйовано математичний об'єкт, який можна застосовувати при побудові імовірнісних моделей. Наприклад, випробуванням з підкидан­ням монети відповідає імовірнісний простір {Сі, Р}, де О = {Г,Ц} - множина елементарних подій; Р(Г) = Р(Ц) = 54 - ймовірності елементарних подій; по­значення елементарних подій: Г - «випав герб», Ц - «випала цифра».

Аксіоматичне означення ймовірності Р(А) погодиться з інтуїтивним, згідно з яким ймовірність події А - це число від 0 до 1, що є збігом частоти реалізації події А при необмеженому числі повторень і постійних умовах випробувань.

З визначення імовірності події, а також умов (3.3) і (3.4) випливають інші властивості ймовірностей:

Для будь-якої події А ймовірність протилежної події Р(А) = 1 - Р(А).

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

Р( А) + Р( А) = 1.

Ймовірність достовірної події Р(СІ) = 1 (за аксіомою 2).

Ймовірність неможливої події Р(О.) = 1 - Р(С£) = 1 - 1 = 0.

8)         Ймовірність добутку А-В сумісних подій А і В: Р(А ■ В) = Р(А) ■ Р(В). З ді-
аграми рис. 3.2а видно, що сумісні події А і В мають загальну (сумісну) площу
подій (зафарбована площа), тому ймовірність добутку сумісних подій Р(А-В )> 0.

9) Ймовірність суми А+В сумісних подій А і В визначається формулою: Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(А■ В), де Р(А■ В)- ймовірність добутку подій А і В. З діаграми рис. 3.26 видно, що події А і В мають сумісну площу подій, яка менша за суму окремо взятих подій А і В на величину добутку А-В подій А і В. Відповідно ймовірність суми сумісних подій Р(В+Є) < Р(В)+ Р(С ).

а) Р( А ■ В) = Р( А) ■ Р(В)   б) Р( А + В) = Р( А) + Р(В) - Р( А ■ В)

Рис. 3.2. Ймовірності добутку і суми сумісних подій А і В

Ймовірність добутку А-В несумісних подій А і В дорівнює нулю. З діа­грами рис. 3.3а видно, що несумісні події А і В не мають спільної площі, пе­ретин відповідних підмножин є порожня множина 0 подій, тому ймовірність добутку несумісних подій Р(А-В) = 0.

Ймовірність суми А+В несумісних подій А і В визначається спроще­ною формулою: Р(А+В) = Р(А) + Р(В). З діаграми рис. 3.36 видно, що події А і В не мають спільної площі подій, яка б зменшувала загальну суму окремо взятих подій В і С.

а) Р(А-В) = 0  б) Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Рис. 3.3. Ймовірності добутку і суми несумісних подій А і В

12) Сума ймовірностей всіх несумісних подій [Аі, А2, А„], що утво­рюють повну групу, дорівнює одиниці

Р(Аі) + Р(А2) +,     + Р(Ап) = 1   або    £Р(А) = 1.

При застосуванні методів теорії ймовірностей і математичної статистики використовується поняття незалежності подій. Події А, В, С, ... є незалеж­ними, якщо ймовірність їхнього спільного здійснення дорівнює добуткові ймовірностей здійснення кожної з них окремо: Р(А-В-С) = Р(А)Г(ВуР(С)... .

Згідно з цим означенням здійснення або нездійснення однієї незалежної події не повинне впливати на здійснення або нездійснення іншої. Наприклад, у випробуваннях при незалежному підкиданні двох монет простір елемента­рних подій складається з чотирьох елементів: ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ (позначення елементарних подій: ГГ - для першої монети випав герб і для другої - теж герб; ЦГ - для першої - цифра, для другої - герб і т.д.). Оскільки події типу «Г - для першої монети випав герб» і «Г - для другої монети випав герб» є незалежними за визначенням незалежних випробувань, і ймовірність кожно­го з них дорівнює !4, то ймовірність події ГГ дорівнює 4 • !4 = А. Аналогічно ймовірність кожного з інших елементарних подій також дорівнює А. Звідси сума ймовірностей всіх чотирьох елементарних подій дорівнюватиме одиниці.

Умовна ймовірність

Якщо подія А відбувається у випробувані, яке обмежене додатковими умовами здійснення події В, то міра можливості події А визначається умов­ною ймовірністю Р(А | В). Отже, умовною ймовірністю Р(А | В) називаєть­ся ймовірність події А, обчислена за умови, що подія В вже відбулася.

Умовна ймовірність має сенс для залежних подій. Для незалежних подій А і В умовна ймовірність перетворюється на звичайну:

Р(А | В) = Р(А),  або Р(В | А) = Р(В).

Отже незалежні події (за означенням) не змінюють ймовірності появи іншої.

Ймовірність добутку залежних подій А і В визначається за формулою:

Р(А ■ В) = Р(А | В) • Р(В).    (3.5)

Умовна ймовірність Р(А\В) як ймовірність здійснення події А за умови, що подія В відбулася, тобто Р(В) > 0, визначається з (3.5):

Р(А | В) = Р(А'В) .     (3.6)

^   і   >     Р(В)            ^    >

Для незалежних подій формула спрощується і приймає вже відомий вигляд:

Р( А ■ В) = Р( А) • Р( В).

Приклад 3.4. В академічній групі 15 хлопців і 10 дівчат. Яка ймовірність того, що двоє навмання і підряд вибраних студентів виявляться дівчатами?

Рішення: Загальна бажана подія А (вибір навмання двох студентів-дівчат) складається з добутку двох подій: В1 (випадковий вибір однієї дівчини) і _82 (випадковий вибір ще однієї дівчини), тобто Р(А) = Р(В1 ■ В2). Ймовірність події В1 - Р(В1). Настання події _82 відбувається після події В1 і оцінюється умовною ймовірністю Р(В2 | В1). Ймовірність добутку залежних подій В1 і _82 дорівнює: Р(В1 • В2) = Р(В1) • Р(В2 | В1).

Ймовірність події В1 визначається як відношення кількості дівчат (10) до

загальної кількості студентів (10+15), тобто Р(В1) =—10— = 0,4.

10+15

Настання події В1 змінює умови для оцінки ймовірності події _82, а саме: зменшується і кількість дівчат (10-1)=9, і загальна кількість студентів (9+15)=24. Тоді ймовірність події _82 як відношення кількості дівчат (9) до за-

9

гальної кількості студентів (24) дорівнюватиме Р(В2 | В1) =      = 0,375.

9 +15

Звідси ймовірність Р(А) події А складатиме

Р(А) = Р(В1 ■ В2) = Р(В1) • Р(В2 | В1) = 0,4 • 0,375 = 0,15 = 15%.

Відповідь: ймовірність вибору навмання двох студентів-дівчат становить 15%. Формула повної ймовірності


Припустимо, що простір подій (множина £2) складається з п попарно не­сумісних подій - підмножин Н1,Н2,И3,...,Нп (див. рис. 3.4).

З рис. 3.4 видно, що подію А можна уявити як суму добутків події А і ко­жної з подій H1,H2,...,Hn (сумаперетинів підмножин А з підмножинамиЯ):

А=А-Их+А-Иг+...+А-Ип = £ А ■ Я,..

Ймовірність події А (за теоремою додавання ймовірностей) визначиться

P( A) = £p( А ■ Я,. ).

і=і

Ймовірність події А (за теоремою множення ймовірностей) визначиться:

P(A) = ÊP(A | H;) • P(H,).      (3.7)

¿=1

Вираз (3.7) є формулою повної ймовірності Р(А) події А, якщо подія А залежить від системи подій. Події H1,H2,...,Hn прийнято називати гіпотеза­ми, за якими може відбутися подія А.

Приклад 3.5. У трьох групах студентів (чисельністю 28, 20 і 25 осіб) від­мінники становлять 7, 2 і 5 студентів відповідно. Яка ймовірність того, що навмання вибраний студент є відмінником?

Рішення: Простір подій (множина Q) складається з 3-х попарно несуміс­них подій - підмножин H1,H2,H3(див. рис. 3.5). Подія А - це результат ви­пробування - вибору навмання студента-відмінника з ймовірністю Р(А).

 

 

 

 

/

Ü

У

 

і

[

 

 

H2 \

 

'  Я3

 

Рис. 3.5. Простір подій {H1,H2,H3}eQ

Ймовірність Р(л) розраховується за формулою повної ймовірності (и=3):

Р(А) = |H[) • Р(Н[) = Р(А | Я1) • ГІН,) + Р(А | Я2) • Р(Н2) + Р(А | Н3) ■ Р(Н3).

¿=1

Ймовірність гіпотези Я1 (події про те, що відмінник вибраний з 1-ї групи ):

Р(Я1) =           28        = ^ а 0,38.

28 + 20 + 25   73

Ймовірність гіпотези Я2 (події про те, що відмінник вибраний з 2-ї групи):

Р(Я2) = ---2--_ = 20 . 0,27. 28 + 20 + 25   73

Ймовірність гіпотези Н3 (події про те, що відмінник вибраний з 3-їгрупи):

25        25

Р(Н3) =           25        = — * 0,34.

28 + 20 + 25   73

Умовні ймовірності події А для кожної гіпотези розраховуються як: Р( Л|Я.) = ^ = 0,25;    Р( Л\Н 2) = ^ = 0,10;    Р( Л\Н 3) = ^ = 0,20.

28        20        25

За формулою повної ймовірності Р(А) розраховується як:

Р(Л) = Р(Л | Я1) • Р(Я1) + Р(Л | Я2) • Р(Я2) + Р(Л | Я3) • Р(Я3) або

Р(Л) = 0,25 • 0,38 + 0,10• 0,27 + 0,20• 0,34 « 0,095 + 0,027 + 0,068 « 0,19.

Відповідь: ймовірність Р(А) події А про те, що навмання вибраний з трьох груп студент є відмінником, складає приблизно 0,19 або 19%.

Приклад 3.6. В академічній групі з 10 студентів, що прийшли на екзамен, 3 студенти підготовлені відмінно, 4 - добре, 2 - задовільно і 1 - погано. Від­мінно підготовлений студент може відповісти на всі 20 питань, добре підго­товлений - на 16, задовільно - на 10 питань, погано - на 5 питань. Яка ймові­рність того, що навмання викликаний з цієї групи студент відповість на два заданих питання?

Рішення: Простір подій (множина О.) складається з 4-х несумісних подій -підмножин Н1, Н2, Н3, Н 4 (див рис. 3.6).

 

 

 

Яі

 

 

\а )

я А

 

Рис. 3.6. Простір подій {Н1, Н 2, Н 3, Н4}є£1

Подія А - це результат випробування - вибору навмання студента, який успішно відповість на два заданих питання. Р(А) - ймовірність цієї події роз­раховуєгься за формулою повної ймовірності (и=4):

Р( А) =Е Р(А|Я,) • Р(Я,).

¿=1

Висуваємо чотири гіпотези щодо ймовірності появи (у результаті виклику навмання) того чи іншого студента з певною підготовкою:

гіпотеза Ні : це буде студент, що підготовлений відмінно, ймовірність його появи Р(Н]) = 3/10 = 0,3;

гіпотеза Н2 : це буде студент, що підготовлений добре, ймовірність йо­го появи Р(Н2) = 4/10 =0,4;

гіпотеза Н3 : це буде студент, що підготовлений задовільно, ймовірність його появи Р(Н3) = 2/10 = 0,2;

гіпотеза Н4 : це буде студент, що підготовлений погано, ймовірність ЙОГО ПОЯВИ Р(Н4) = 1/10 = 0,1.

Умовні ймовірності виконання двох завдань студентів з певною підгото­вкою розраховуються як ймовірності добутку двох залежних подій (подій успішного виконання двох завдань). Згідно з теоремою множення:

умовна ймовірність виконання двох завдань студентом, що підготовле­ний відмінно, дорівнюватиме Р(А\Н1) = (20/20)-(19/19) = 1;

умовна ймовірність виконання двох завдань студентом, що підготовле­ний добре, дорівнюватиме Р(А\Н2) = (16/20)-(15/19) ~ 0,63;

умовна ймовірність виконання двох завдань студентом, що підготовле­ний задовільно, дорівнюватиме Р(А\Н3) = (10/20)(9/19) ~ 0,24;

умовна ймовірність виконання двох завдань студентом, що підготовле­ний погано, дорівнюватиме Р(А\Н4) = (5/20)-(4/19) ~ 0,053.

За формулою повної ймовірності Р(А) розраховується як:

Р( А) = Р(А | Я1) • Р(Н1) + Р( АІН2) ■ РЩ2) + Р( А | Я3) • РЩ,) + Р( А \НЛ) ■ Р(НЛ)

або

Р(А) = 1-0,3+0,63-0,4+0,24-0,2+0,053-0,1 = 0,605 = 60,5%. Відповідь: ймовірність Р(А) події А про те, що викликаний навмання сту­дент відповість на два заданих питання, складає приблизно 0,605 або 60,5%.

Формула Байєса

Формула повної ймовірності дає можливість розрахувати ймовірність Р(А) події А, якщо вона залежить від системи подій-гіпотез Н1,Н2,...,Нп, за умовними ймовірностями яких Р(А | Н1), Р(А | Н2), ... , Р(А | Яп) може відбу­тися ця подія А. Проте важливим завданням математики є розрахунки умов­ної ймовірності Р(Н, | А) гіпотези Ні, якщо відомо, що у випробуванні подія А вже відбулася. Згідно з теоремою множення ймовірностей можна записати Р(Н, - А) = Р(Щ - Р(А | Ні) = Р(А) - Р(Н, | Л).

Звідси

РІНі\А) = Р(Н 1) •Р( А|Я 1) .            (3.8)

1          Р( А)

Якщо знаменник Р(А) замінити формулою повної ймовірності (3.7), отри­маємо формулу Байєса:

Р(Яі|А) = пР(Д 1)•Р(А'Яі) ,   (3.9)

Е Р( Н,) - Р( А|Ні)

1=1

де Н1,Н2,---,Нп - попарно несумісні події, що утворюють повну групу.

Формула Байєса дає можливість підрахувати «апостеріорні»10 ймовірності Р(Ні | А) за допомогою «апріорних»11 ймовірностей Р(Н) «гіпотез» Я,- .

Приклад 3.7. За умовами прикладу 3.6 викликаний навмання студент від­повів на три заданих питання. Яка ймовірність того, що цей студент є: а) від­мінно підготовлений; б) підготовлений погано?

Рішення: Висуваємо чотири гіпотези щодо ймовірності появи (у результа­ті виклику навмання) того чи іншого студента з певною підготовкою:

a posteriori (лат.) - на основі досліду. a priori (лат.) - до досліду.

гіпотеза Ні : це був студент, що підготовлений відмінно, ймовірність його появи Р(Н1) = 3/10 = 0,3;

гіпотеза Н2 : це був студент, що підготовлений добре, ймовірність його появи ДЯ2) = 4/10 = 0,4;

гіпотеза Н3 : це був студент, що підготовлений задовільно, ймовірність його появи Р(Н3) = 2/10 = 0,2;

гіпотеза Н4 : це був студент, що підготовлений погано, ймовірність йо­го появи Р{Н4) = 1/10 = 0,1.

Умовні ймовірності виконання трьох завдань того чи іншого студента з певною підготовкою розраховуються як ймовірності добутку трьох залежних подій (успішного виконання трьох завдань). Згідно з теоремою множення:

умовна ймовірність виконання трьох завдань студентом, що підготовле­ний відмінно, дорівнюватиме Р(А\Н,) = (20/20)(19/19)(18/18) = 1;

умовна ймовірність виконання трьох завдань студентом, що підготовле­ний добре, дорівнюватиме Р(А\Н2) = (16/20)(15/19)(14/18) = 0,491;

умовна ймовірність виконання трьох завдань студентом, що підготовле­ний задовільно, дорівнюватиме Р(А\Н3) = (10/20)-(9/19)• (8/18) = 0,105;

умовна ймовірність виконання трьох завдань студентом, що підготовле­ний погано, дорівнюватиме Р(А\Н4) = (5/20)• (4/19)• (3/18) ~ 0,009.

За формулою Байєса:

а) ймовірність того, що це був студент, підготовлений відмінно, складає


Подпись: Р(Я.) - Р( Л\Н.) І Р(Я,) • Р( Л\Я,)

Р(Н1\Л):


і=1

або Р(Я1 \ Л) =           и 0,58 и 58% ;

0,3 -1 + 0,4 • 0,491 + 0,2 • 0,105 + 0,1 • 0,009

б) ймовірність того, що це був студент, підготовлений погано, складає

Р(Я2 \ Л) =      0,1'0,009         « 0,002 « 0,2% .

0,3 -1 + 0,4 • 0,491 + 0,2 • 0,105 + 0,1 • 0,009

Відповідь: ймовірність того, що на всі три питання дав відповідь відмінно підготовлений студент, дорівнює 58%, у той час як ймовірність для погано підготовленого складає лише 0,2%. Отриманий результат також може озна­чати, що процедура іспиту за даними критеріями має доволі високий рівень діагностичних властивостей - порівняйте 58% для відмінника і 0,2% для по­гано підготовленого студента.

Елементи комбінаторики

Для рішення завдань теорії ймовірностей і математичної статистики важ­ливе значення мають такі математичні поняття комбінаторики, як перестано­вка, розміщення і комбінація.

Перестановкою з т різних елементів називають такий об'єкт, який скла­дається з цих самих т елементів. Кількість Рт таких об'єктів-перестановок, які відрізняються один від одного лише місцем розташування своїх елемен­тів, розраховується за формулою:

Рт = т!,            (3.10)

де т! = 1-2-3-...-т - факторіал числа т (проте 0!=1). Наприклад, для трьох об'єктів а, Ь, с (т =3) кількість перестановок дорі­внює 3!=1-2-3=6, а саме такі перестановки:

а Ь с ; а с Ь ; Ь а с ; Ь с а ; с а Ь ; с Ь а . Розміщенням з п елементів по т називають такий об'єкт, який склада­ється з т елементів, вибраних з п елементів. Причому розміщення з однако­вих елементів, але з різними місцями їх розташування, вважаються різними. Кількість об'єктів-розміщень Л™ розраховується за формулою:

Лтп = п(п - 1)(п - 2)...(п - т +1)   або   ЛПт =~        —7.   (3.11)

п          (п - т)! '

Наприклад, для трьох об'єктів а, Ь, с (п=3) кількість розміщень по два об'єкти (т=2) буде дорівнювати Л32 = 3 • 2 = 6, а саме такі розміщення: а Ь ;  Ь а ; а с ; с а ;  Ь с ; с Ь.

Комбінацією з п елементів по т називають такий об'єкт, який складаєть­ся з т елементів, вибраних з п елементів. Проте об'єкти-комбінації відрізня­ються між собою хоча б одним елементом. Кількість таких об'єктів Спт роз­раховується за формулою:

Ст =~Г<          ^   аб° Сп ~     :           . (3.12)

т!(п - т)!          т!

Наприклад, для трьох об'єктів а, Ь, с (п=3) кількість комбінацій по два об'єкти (т=2) буде дорівнювати: гз ~ 2!(з _    ~ і. 2. і ~  ' а саме: а Ь ' а с ' Ь с '

Отже, значення Cnm (кількість комбінацій з п елементів по m) менше за A™ (кількість розміщень з n елементів по m) у Pm разів, тобто між поняттями комбінаторики існує співвідношення:

гп = рг •          (з-із)

Приклад 3.8. Яка ймовірність того, що у випробовуванні з випадковим витягуванням шести карток-літер «Е», «П», «Р» і т.д. можна скласти навман­ня слово «ПРОЦЕС»?

Рішення: Випробовування полягає в витягуванні у випадковій послідов­ності карток з літерами без повернення. Подія А отримання слова «ПРОЦЕС» є елементарною подією серед перестановок з 6 літер. Кількість перестановок для п=6 визначається як Pm:

Pm = п! = 6! = 1-2-3-4-5-6 = 720.

Звідси ймовірність бажаної події є P(A) =      ~ 0,0014 « 0,14%.

Відповідь: ймовірність скласти навмання слово «ПРОЦЕС» з шести від­повідник карток-літер дорівнює 0,14%.

Приклад 3.9. Яка ймовірність скласти навмання слово «МАТЕМАТИКА» з десяти окремих карток-літер?

Рішення: Подія А отримання слова «МАТЕМАТИКА» є елементарною подією перестановок з 10 літер, кількість яких визначається як п!=10!=3628800. Проте деякі літери повторюються («М» - 2 рази, «А» - 3 ра­зи, «Т» - 2 рази), тому існують перестановки, які не змінюють слова.

Для літери «М» кількість перестановок, що не змінюють слова буде 2!=Г2=2; для літери «А» - 3!=Г2-3=6; для літери «Т» - 2!=Г2=2. Загальна кількість перестановок, що не змінюють слова буде m=2!-3!-2!=1-2-1-2-3-1-2=24.

Звідси ймовірність бажаної події є Р(А) = « 0,0000066 « 0,0007%.

3628800

Відповідь: ймовірність скласти навмання слово МАТЕМАТИКА дорівнює близько 0,0007%.

Приклад 3.10. Залікове завдання містить 5 питань, на кожне з яких пропо­нуються дві альтернативні відповіді «ТАК» і «НІ». Правильна відповідь на одне питання оцінюється у 1 бал, неправильна - у 0 балів. Яка ймовірність, відповідаючи навмання, скласти залік, тобто отримати не менш 4-х балів?

Рішення: Подія А успішного складання заліку - це отримання 4-х або 5-ти балів з 5-ти можливих. Ймовірність цієї події Р(А) = Р(4)+Р(5). Залікове ви­пробування містить п'ять елементарних випробувань. Якщо відповідати на­вмання, то ймовірності кожної бажаної р(1) і кожної небажаної р(0) елемен­тарної події однакові і дорівнюють по і4, тобтор(1) = р(0) = 1А = 0,5.

Звідси ймовірності отримання:

бали - Р{4)=р{1)р{1уР{1Ур{1уР{0уС54 = 0,55-5 = 5/32 = 0,15625 = 15,625%;

балів - Р{5)=р{1Ур{1Ур{1Ур{1Ур{1уС55 = 0,55Т = 1/32 = 0,03125 = 3,125%.

Загальна ймовірність складання заліку Р(А) = 15,625% + 3,125% = 18,75%.

Відповідь: Згідно умовам ймовірність скласти залік, відповідаючи на­вмання на 5 питань завдання, дорівнює 18,75% (проте, ймовірність не склас­ти залік дорівнює 1 - 18,75% = 81,25%).

Запитання. Завдання.

Розкрийте означення понять «випробування», «елементарна подія», «простір елементарних подій», «повна група подій», «випадкова подія».

Які події називають неможливими і достовірними, незалежними і за­лежними?

Які події називають сумісними і несумісними?

Назвіть і охарактеризуйте основні типи операцій над подіями (слідування, еквівалентність, доповнення, добуток, сума).

Що таке «ймовірність події» і як визначається класична ймовірність?

6.         Які значення мають ймовірності неможливих і достовірних подій?

Наведіть формулу для розрахунку суми та добутку ймовірностей сумі­сних і несумісних подій.

За якими формулами розраховують такі елементи комбінаторики, як перестановка, розміщення і комбінація?

9.         Сформулюйте означення ймовірності у рамках аксіоматичного підходу.

Охарактеризуйте три аксіоми Колмогорова.

Що таке «умовна ймовірність»?

Наведіть формулу повної ймовірності.

Наведіть і поясніть формулу Байєса.

Повторіть математичні процедури завдань за прикладами 3.1 - 3.9.