8.4. Вибір шляхів переміщення вантажопотоків

Вибір найбільш оптимальних шляхів переміщення вантажів є одним з найважливіших завдань транспортної логістики, тому, що саме вирішення цього завдання забезпечує найбільшу продуктив­ність транспортних засобів і найменшу собівартість перевезень. Рух транспорту здійснюється за маршрутами.

Маршрут руху — шлях переміщення рухомого складу при ви­конанні перевезення.

Маршрутизація перевезень є найбільш досконалим засобом ор­ганізації матеріалопотоків вантажів. Для розробки оптимальних маршрутів використовують економічні та математичні методи, зок­рема, транспортні методи, які дають змогу обрати найкращій варі­ант перевезення вантажів з декількох пунктів постачання в декілька пунктів призначення, забезпечуючи найменші сумарні витрати.

Постановка транспортного завдання

Маємо m постачальників визначеного виду продукції. Максима­льні об'єми можливих поставок продукції задані і дорівнюють від­повідно a,i = 1,2,...,m. Ця продукція використовується n споживача­ми. Об'єми потреби задані та дорівнюють відповідно bj, j = 1,2,..., n.

Вартість перевезення одиниці продукції від i-го постачальника до j-го споживача відома для всіх i = 1,2,...,m та всіх j = 1,2,...,n та дорів­нює Cj . Потрібно встановити такі об'єми перевезення xtj від кож­ного постачальника до кожного споживача, щоби сумарні витрати на перевезення були мінімальними і потреби всіх споживачів були б задоволені (якщо тільки загальний об'єм можливих поставок по­криває загальний об'єм потреб).

Математична модель цього завдання наступна:

m   n

XXе jxj ->min;            (8.22)

i=1 j=1

n

XXj < ai,i = 1,2,...,m;

j=1

m

X xj > bj, j = 1,2,..vn;

i=1

Xj > 0,i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n.

Вирішення транспортного завдання методом північно-західного кута

При використанні методу «північно-західного кута» насамперед аналізують транспортну проблему визначаючи потужність кожного постачальника і потреби кожного споживача, а також витрати на перевезення від кожного відправника до кожного споживача. До­тримуються наступних вимог:

витратити всю потужність джерела постачання;

задовольнити всі потреби кожного споживача;

перевірити, чи всі потреби задоволені.

Потім розробляється транспортна матриця (табл. 8.4), за допо­могою якої формується опорний план перевезень за допомогою ме­тоду північно-західного кута.

Таблиця 8.4

ь

ТРАНСПОРТНА МАТРИЦЯ

 

 

С11

С12

 

С1п

 

 

х12

 

Х1п

а1

С21

С22

 

С2п

а2

Х21

Х22

 

 

......|...|...             |

Хт1

Ст2

Хт2

 

С

тп

 

Ьп

Кожна клітина транспортної матриці відповідає визначеній парі постачальник — споживач. Наприклад, клітина, що розташована в і-му горизонтальному рядку та у-му вертикальному стовпчику, від­повідає парі і-й постачальник — у-й споживач. В клітинки будемо заносити дані про об'єми перевезень за відповідним маршрутом. Почнемо вирішення завдання, починаючи з встановлення об'єму перевезень за маршрутом (/,/), тобто з заповнення верхньої лівої («північно-західної») клітини матриці. Приймемо його максималь­но можливим за умовою завдання, тобто таким, що дорівнює


Х11 = шіп(а1, Ь1).


(8.23)


Якщо а1 < Ь1, то постачальник 1 повністю використав свої мож­ливості, і при встановленні інших перевезень його можна не врахо­вувати, а потреба споживача 1 тепер буде дорівнювати (Ь1 - а1). Якщо а1 > Ь1, то споживач 1 повністю задовольнив свою потребу в продукції, і його можна в подальшому не враховувати, а постача­льник 1 тепер розпоряджається лише(а1 - Ь1) одиницями продукції. Якщо а1 = Ь1, то можна в подальшому не враховувати ні споживача,

ні постачальника. Однак умовимось вважати, що в цьому випадку «вибуває з гри» тільки один з них (хай для визначеності — поста­чальник), а можливі постачання (і відповідно потреба) споживача дорівнює нулю (фіктивне постачання або потреба).

З цих міркувань виходить, що після встановлення об'єму пере­везень за маршрутом (1,1) ми маємо справу з новим завданням, в котрому сумарне число постачальників і споживачів на одиницю менше, ніж у вихідному завданні. В північно-західну клітину мат­риці, яка одержана уявним викреслюванням першого рядка або стовпчика зі «старої» матриці, знову розміщуємо максимально мо­жливий об'єм перевезень (він може бути і нульовим). Цей процес продовжується до розподілення всієї кількості вантажу. Як прави­ло, число всіх заповнених клітин є (т +п - 1), де т — число поста­чальників, п — число споживачів. Продовжуючи цей процес, ми, очевидно, одержимо допустиме вирішення завдання, тому, що

т          п

X а, =Х Ь} = а.           (8.24)

¿=1      і=1

Рішення поставленого завдання є допустимим, тому що всі потре­би споживачів задовільне ні і всі потужності постачальників викорис­тані повністю. Але це рішення не дає гарантію мінімізації сумарних витрат на перевезення. Очевидно те, що нам потрібно використати певну процедуру для того, щоб знайти оптимальне рішення.

Метод послідовного покращення рішення

Це ітеративний метод, що дозволяє послідовно переходити від початкового допустимого рішення до оптимального рішення. З ці­єю метою ми перевіряємо кожну невикористану клітину транспор­тної матриці, задаючи собі наступне питання: «що скоїться з сума­рними витратами, якщо одну одиницю продукції умовно перевезти шляхом, який невикористаний нами?».

Проведемо цю перевірку наступним чином:

Виберемо будь-яку невикористану клітину матриці для оцінки.

Починаючи з цієї клітини прокладемо найкоротший замкну­тий шлях через використані клітини до неї самої (при цьому дозво­ляється тільки горизонтальне та вертикальне переміщення). Про­кладаючи шлях, можна переступати через пусту або невикористану іншу клітину.

Початковій невикористаній клітині надаємо знак «+» (в цій клітині ми розмістили одну одиницю продукції — тобто плюс один). Враховуючи, що таким чином ми змінюємо початкове допу­стиме рішення, в наступній клітині шляху потрібно внести корек­тиви на одну одиницю продукції згідно з існуючими потужностями постачальника і потребами споживача (або плюс одиницю, або мі­нус одиницю). Розміщуємо почергово знаки плюс і мінус в кожній клітинці вибраного найкоротшого шляху.

Відповідно до поставлених знаків «+» та «-» підрахуємо зна­чення індексу, підсумовуючи або віднімаючи вартість одиниці про­дукції і , яка розміщена в кожній клітині транспортної матриці (табл. 8.4). Якщо значення індексу позитивне (зросло) або дорівнює нулю, то це означає, що ми досягли для цього шляху більш опти­мального рішення.

Потрібно повторити кроки 1—4 для всіх невикористаних клі­тин. Якщо значення всіх індексів зросло або дорівнює нулю, то це означає, що досягнуте оптимальне рішення. Якщо ні, то існує мож­ливість покращити це рішення та знизити сумарні витрати переве­зень. Кожний від'ємний індекс показує величину, на котру можна зменшити сумарні витрати, якщо перевезення будемо здійснювати шляхом, що характеризується від'ємним індексом. Тому, наступ­ний крок полягає у виборі для перевезень такого шляху, котрому відповідає максимальний від'ємний індекс (якщо їх декілька). Та­ким чином ми досягаємо максимальної економії сумарних витрат і знаходимо оптимальний план перевезень.

МОДІ — метод (модифікований розподільчий)

МОДІ — метод дозволяє розрахувати індекси, для кожної неви­користаної клітини, не прокладаючи пов'язані з цим шляхи, як це рекомендується в попередньому методі. Це зберігає час при вирі­шенні транспортного завдання.

Використання МОДІ — методу починається з початкового рі­шення, яке знаходиться за допомогою методу «північно-західного кута». Далі визначають значущість кожного рядка і кожної колон­ки. Оцінки значущості рядків і стовпчиків позначимо наступним чином:

Я; — оцінка значущості рядка і (і = 1, 2,т);

К — оцінка значущості стовпчика і (і = 1, 2,..., п);

су — вартість перевезення продукції від /-го постачальника до

у'-го споживача.

МОДІ — метод складається з п'яти кроків:

1.         Розраховується оцінка для кожного рядка і стовпчика у ви-
гляді Щ + Ку = Су, але тільки для тих клітин, котрі послідовно вико-
ристовуються або зайняті. Наприклад, якщо клітина знаходиться на
перетині рядка 3 ті стовпчика 2, вона формує оціночний набір

Щ3 + К2 = С32.

Після того, як виписані всі рівняння, приймають, що Щ = 0.

Вирішуються всі рівняння для всіх Щ та К оцінок.

Розраховується індекс покращення для кожної невикориста­ної клітини за формулою: Індекс = Су - Щ -Ку.

Відбирається найбільший за абсолютним значенням від'ємний індекс і рішення задачі продовжується відповідно до ме­тоду послідовного покращення рішення (пункт 5).

Усі ці методи можуть бути використані для різних видів транс­порту (залізничного, автомобільного, водного). Для автомобільного транспорту важливим є вибір не тільки раціонального напряму пе­ревезень, але і їх обсягу. Для визначення раціонального обсягу пе­ревезень вивчають виробничу діяльність постачальників, їх зв'язки та ін.

Разом з тим, слід відмітити, що проблема мінімізації витрат пе­редбачає і вирішення проблеми оптимального розміщення вироб­ництва, оскільки тільки в цьому випадку можна знайти систему розподілу (доставки товару) дійсно з мінімумом витрат.