4.2. Розрахунки за допомогою простих та складних відсотків

Відомі дві схеми нарахування відсотків: за допомогою простих і складних відсотків. Прості відсотки використовуються, якщо база нарахування залишається не змінною, а складні - якщо база нарахування зростає на нараховану суму.

Отже, якщо сума Р надана в борг на п років під річну відсоткову ставку і, то:

За схемою простих відсотків щороку кінцева сума боргу зростатиме на величину Р ■ і, і в кінці періоду становитиме: ^ = р + р ■ і + р ■ /... + р ■ і = р ■ (1 + і ■ п) [4.3]

За схемою складних відсотків чергові відсотки будуть нараховані не лише з початкової суми боргу, а з сумарної, до складу якої входять і раніше нараховані та не вилучені процентні гроші. Відбувається капіталізація відсотків. Отже, кінцева сума боргу буде становити:

за перший рік: 51 = р + р ■ і = р ■ (1 + і); [4.4] за другий рік: Б2 = Б1 + Б1 ■ і = Б1 ■ (1 + і) = р ■ (1 + і)2; [4.5] за п років: Бп = р ■ (1 + і)п [4.6]

Вказані залежності, а саме 5 = р ■ (1 + і ■ п) та 5 = р ■ (1 + і)п є базовими формулами нагромадження за простими та складними відсотками відповідно.

Для обґрунтування використання певної схеми нарахування відсотків доцільно проаналізувати співвідношення кінцевих сум, отриманих при нарахування за простими відсотками (8пр) та за складними відсотками (8скл). Воно залежить від величини п - тривалості періоду нарахування.

Порівняємо множники (1+іп) та (1+і)п. Зрозуміло, що при п=1 ці величини збігаються та дорівнюють

Якщо 0<п<1, то (1+іп) > (1+і)п , якщо п>1, то (1+іп)< (1+і)п. Отже, при позиках до одного року (0<п<1) нарахована сума зростає швидше за простими відсотками - 8пр>8скл, а при позиках більше року - за складними 8скл > 8пр.( Рис. 4.2.)

Для особи, яка надає гроші в борг (кредитора) більш вигідною є схема простих відсотків, якщо позика короткотермінова. При позиках понад рік доцільним є використання складних відсотків, а якщо тривалість позики 1 рік, то принципової різниці не існує. В усіх вказаних випадках передбачається, що використовується річна відсоткова ставка і відсотки нараховуються 1 раз на рік в кінці періоду.


У випадку короткотермінових позик (до 1 року) в якості величини п приймають співвідношення тривалості позики в днях до кількості днів в році:

п = Т, [4.7] К

де Т - термін позики в днях (день надання та день повернення боргу вважається одним днем);

К - календарна тривалість року.

При цьому розрахунки ведуться, як для точного (365 днів), так і для звичайного за тривалістю ( 360 днів) років. Розрізняють такі випадки:

Точні відсотки з точним числом днів позики: (позначаються: «365/365» )

Звичайні відсотки з точним числом днів позики: (позначаються: «365/360»)

Звичайні відсотки з наближеним числом днів позики: (позначаються: «360/360»)

Точні відсотки означають, що тривалість року приймається точно (365 або 366 днів), а звичайні - спираючись на наближену кількість днів в році - 360. Цей підхід відображений в приведених вище умовних позначеннях. Точна тривалість позики визначається прямим підрахунком. В нагоді при цьому стають порядкові номери днів в році (додаток). Наближена тривалість обраховується через припущення, що рік містить 12 місяців по 30 днів (360 днів в році).

Всі три випадки дають різний результат і використовуються в різних країнах. Так, США надають перевагу першому підходу, а звичайні відсотки поширені в Європі.

У проектному аналізі широкого використання має схема нарахування складних відсотків. На практиці виникає багато різних ситуацій, пов'язаних з проблемами модифікації базової формули до відповідної ситуації.

Часто період нарахування не збігається з оголошеною ставкою. Тобто, наприклад, оголошується річна відсоткова ставка, а нарахування здійснюються частіше ніж раз на рік (щоквартально, щомісячно, щоденно). В такому випадку розрахунки здійснюють за ставкою, що дорівнює пропорційній періоду нарахування долі вихідної ставки:

5 = Р *(1 + і-)"*т, [4.8] т

де ] - оголошена річна ставка, т - кількість нарахувань за рік п - кількість років.

Зазначимо, що при використанні простих відсотків проблеми урахування частоти нарахувань не існує. Кінцева сума боргу не залежить від кількості нарахувань відсотків протягом періоду. Тобто, нагромадження за простими відсотками за ставкою 10 % раз на рік, дає той же результат, що і, поквартальне нарахування за ставкою

2,5 %.

Можливість нараховувати відсотки частіше ніж раз на рік використовується для регулювання ефективності боргових операцій при розрахунках за складними відсотками. Зрозуміло, що чим частіше здійснюють нарахування, тим більша кінцева сума. Важливо усвідомлювати, що місячна ставка в розмірі 1 % не еквівалентна 12 % річних. Для порівняння результативності застосування різних схем нагромадження у фінансовій математиці існує поняття ефективної відсоткової ставки. Це та реальна ставка, яка відображає дійсну зміну вартості боргу за рік, а оголошену ставку називають в такому випадку номінальною. Щоб знайти взаємозв'язок між ними прирівняємо залежності

5 = Р ■ (1 + і)п та 5 = Р ■ (1 + і-)тп.

т

В результаті відповідних математичних перетворень отримаємо, що

і = (1 + /)т -1, [4.9] т

де і - ефективна ставка; І - номінальна ставка.

Виведена залежність полегшує вибір між різними схемами нагромадження.

Залежно і = (1 + -?-)т -1 видно, що чим частіше здійснюються т

нарахування, тим більшою є ефективна ставка. Виникає питання: як швидко зростатиме сума боргу, якщо нарахування здійснювати максимально часто аж до неперервного нагромадження?

При неперервному нарахуванні відсотків кінцева сума боргу не зростає безмежно. Математичні закони формують відповідну залежність, а саме:

5 = Р * ё*п, [4.10]

де е = 2,718281 - число Ейлера, одна з найважливіших сталих математичного аналізу.

Для дослідження темпів зростання нагромадженої суми в результаті збільшення частоти нарахуванням скористаємось прикладом. Розрахуємо нагромаджену суму для різних варіантів нарахування відсотків за один рік, якщо вихідна сума 1000 грн. та і=10%. Результати представимо в таблиці 4.1.


Отже, існує пряма залежність між частотою нарахування відсотків і кінцевою сумою боргу. Водночас темп такого зростання постійно зменшується, що підтверджує ланцюгове нагромадження (графа 5).

Неперервне нагромадження часто використовують у проектному аналізі. Це доцільно, коли розглядаються багаторазові виплати протягом періоду або нагромаджені суми постійно змінюються.

При розрахунках за складними відсотками цілком ймовірно, що термін позики не дорівнює цілій кількості років. Борг може бути наданий на 40 місяців, або 5,5 року, або на 1 рік і 3 місяці тощо. В таких випадках для встановлення нагромадженої суми використовують два підходи:

загальний - за базовою формулою нагромадження;

змішаний - з використанням простих і складних відсотків.

При змішаному нарахуванні п представляють, як суму цілої частини і дробової, а 8 визначається із залежності:

5 =    (1 + і)а ■ (1 + Ь■ і), [4.11]

де а - ціла кількість років; Ь - добова частина року.

Приклад.

Банк надав кредит на 30 місяців в розмірі 100 тис. грн. під 30 % річних на умовах щорічного нарахування відсотків. Яку суму слід повернути в банк після закінчення терміну угоди?

Визначимо кінцеву суму двома способами. При цьому врахуємо, що 30 місяців = 2,5 року.

Загальний підхід: 5 = 100(1 + 0.3)2+05 = 192.69тис. грн.

Змішаний підхід:

5 = 100(1 + 0.3)2 ■ (1 + 0.3 ■ 0.5) = 194.35 тис. грн.

Таким чином, змішана схема є більш вигідною для кредитора.

Розглянуті вище аспекти нарахування відсотків враховують і при дисконтуванні. В проектному аналізі процеси дисконтування мають визначальне значення. їх економічний зміст полягає в наступному: майбутні доходи, що очікуються від проекту, повинні бути оцінені з сьогоднішньої позиції. Тобто всі витрати та надходження по проекту мають бути приведені до одного моменту часу (як правило - початку реалізації проекту) і тільки тоді можуть порівнюватись між собою.

Базовими формулами дисконтування за простими і складними відсотками відповідно є:

Р = тг^т- [4Л2]

(1 + іП)

Р =       . [4.13]

(1+і)п

При використанні складних відсотків множник (1 1 п називають дисконтним відсотком або дисконтним множником. Для полегшення фінансових розрахунків його значення не визначають власноручно, а користуються відповідними таблицями. Подібні таблиці існують і для інших фінансових операцій.

З базових формул нарахування чи дисконтування не важко визначити тривалість позики або прибутковість операції, якщо всі інші складові задані.