5.3. Ціна і оптимізація прибутку

Головним показником результативності функціонування продав- ця є прибуток. Економіко-математична модель на максимум прибут- ку при  відомій формі залежності попиту від ціни має  наступний ви- гляд1:

П ( p) = p ×Q −C (Q) ,            (5.6)

де П  — прибуток при певній ціні;

p — ціна;

Q — обсяг виробництва (обсяг  продажів);

C (Q) — витрати.

Якщо відома функція попиту від ціни Q = D(P ) , то підставивши її в (5.6), отримаємо наступну модель прибутку:

П ( p) = p × D( p) −C (D( p)) .            (5.7)

Тоді оптимізаційна задача формулюється таким чином: визначи- ти ціну  ( p = p0 ) , при який прибуток досягає максимуму (max П ( p)). Вид функції D( p) і C (D( p)) , а також їх параметри можуть бути  ви- значені в результаті аналізу відповідних статистичних даних (п.5.1).

Розглянемо випадок, коли функція витрат C (y) є лінійною та має наступний вигляд:

1  При  умові  відсутності дефіциту та затоварювання, тобто  обсяг  виробництва  до- рівнює обсягу продажів.


 

 

C (y) = h + v ×Q,


(5.8)

 

 

де h — постійні витрати, які не залежить від обсягу випуску про- дукції;

v — змінні витрати на одиницю продукції.

Будемо вважати, що залежність попиту від ціни також є лінійною та має наступний вигляд:

 

Q = k + l × p,


(5.9)

 

 

де k — максимально можливий обсяг попиту, k > 0;

l — параметр лінійної моделі, l < 0 .

Підставляючи формули (5.8)   та  (5.9)   у  модель прибутку (5.6), отримаємо:

П ( p) = p × (k + l × p) − h − v(k + l × p) = lp2 + (k − v × l ) p − (h + vk ) =

 

 

= l ( p −


vl − k

2l


(vl − k )2

)2  −     − h − vk.

4l 2


(5.10)

 

Враховуючи, що  l < 0 , максимум прибутку досягається при  на- ступній умові:

vl − k

р =       ,           (5.11)

 

0          2l

і цей максимум дорівнює:

(vl − k )2 + (h + vk ) × 4l 2

max П ( p) = П ( p0 ) =           2

−4l


.           (5.12)

 

Графік функції (5.10) є параболою, гілки якої напрямлені вниз. Враховуючи вимогу max П ( p) > 0 , цей графік наведено на рис.  5.10.


 

Ï

 

П ( p)

Ï  ( p)

 

max П(р)

 

 

0      p1


ð      vl - k        p          p

0          2l         2

 

 

Рис. 5.10. Графік функції прибутку

Вимога  max П ( p) > 0 буде  досягнута при  умові  додатності дис- кримінанта квадратного тричлена від  ( p) (5.10):

(k − vl )2 + 4l (h + vk ) > 0 .   (5.13) Підставляючи оптимальну ціну  (5.11) в  функцію попиту (5.9),

отримаємо оптимальний обсяг виробництва:

 

 

y  = k + lp


vl + k

=          .           (5.14)

 

0          0          2

Як  видно  з графіка функції П ( p) , існує  дві «мертві» точки ( p1 )

( p2 ) , де прибуток дорівнює нулю. Розв’язання рівняння (5.10) дає

координати цих  точок:

 

 

p1,2 =


(vl − k ) ±


(k − vl )2 + 4l (h + vk )

2l


 

.           (5.15)

 

 

Приклад 4. Нехай залежність обсягу попиту на книжкову продук- цію від ціни має вигляд (5.9), а функція витрат (5.8). Задамо значення:

—  постійні витрати, які не залежить від обсягу випуску книжко- вої продукції, h = 36 тис. грн.;

—  змінні витрати на одиницю книжкової продукції, v = 20 грн./екз.

;

—  максимально можливий обсяг тиражу, k = 4000  екз.;

—  коефіцієнт l = – 40 екз./грн.


 

Оптимальна ціна задається формулою (5.11):

vl − k   20 × (−40) − 4000

р =       =          = 60грн. / екз.

 

0          2l


2 × (−40)

 

Оптимальний обсяг  тиражу, який забезпечує максимальний при- буток, у відповідності з формулою (5.14) дорівнює:

 

vl + k


20 u (-40) + 4000


 

1600    .

 

y0        k + lp0

2          2


ɟɤɡ

 

Інтервал для  ціни, в межах якої забезпечується рентабельність виробництва, визначається виразом (5.15):

 

 

p1,2 =


(vl − k ) ±


(k − vl )2 + 4l (h + vk )

=

2l

 

 

 

(20 × (−40) − 4000) ±


(4000 − 20 × (−40))2 + 4 × 40(36000 + 20 × 4000

 

=          =

2 × (−40)

= 60 ± 26,5грн. / екз.

Ціна має  знаходитися в межах від  33,5 до 86,5 грн. за  один  ек- земпляр.

Максимальний прибуток, який досягається за  оптимальною ці- ною, розраховуємо за формулою (5.12) дорівнює:

(vl − k )2 + (h + vk ) × 4l 2

 

max П ( p) = П ( p0 ) =


=

−4l 2

 

 

(20 × (−40) − 4000)2  + (36000 + 20 × 4000) × 4 × (−40)

=          = 28тис.грн.

−4 × (−40)

Контрольні питання

1.   Які  функціональні залежності можливі між попитом і ціною?

2.   Як  змінюється «швидкість» попиту при  лінійній, параболіч- ній та оберненій функціях попиту?


 

3.   За  якою формулою оцінюється цінова еластичність попиту, якщо відома функція попиту?

4.   Яке  економічне тлумачення еластичності попиту від  власної ціни?

5.   Як  за  допомогою перехресного коефіцієнта  еластичності ви- значити, чи є товар  взаємозамінним або взаємодоповнюючим?

6.   За якою формулою визначається оптимальна ціна товару, що максимізує прибуток?

7.   Які  коефіцієнти входять в формулу оптимальної ціни? Дайте їх економічне тлумачення.

8.   Яка аналітична функція зображує криву прибутку підприєм- ства за умови лінійної функції попиту?

9.   Які  точки на графіку лінійної функції називаються «мертви- ми»?