5.2. Похідна і оцінка еластичності попиту від ціни

В попередніх розділах вже  йшлося про  різні визначення цінової еластичності попиту. Існує  також математичне визначення еластич- ності функції (y) за змінною (x) .


 

Еластичність функції Е x (y) — це границя відношення відносного приросту функції (y) до відносного приросту змінної (x) при Δx→0:

 

 

ȿ ( y)


lim ( 'y : 'x )


x lim 'y


x yc


 

(5.4)

 

x          'xo0      y         x


y 'xo0  'x          y

 

 

Нехай відома функція попиту D( p) товару, де ( p) — ціна товару. Тоді за формулою (5.4)  еластичність попиту від ціни визначається на- ступною формулою:

 

 

E p (D) =


p

D( p)


 

D ′( p)


 

(5.5)

 

Оскільки крива попиту D( p) — спадаюча функція (з ростом ціни

 

попит спадає), то


D ′( p) < 0 . Тобто,  при  такому визначенні еластич-

 

ність попиту від ціни від’ємна.

Приклад 2. Функція попиту на  шампунь, яку було  знайдено в прикладі 1,  D( p) = Q = −167,88 p2 + 6686,3 p − 64807. Знайдемо цінову еластичність попиту при ціні  p = 20 грн.

 

Так  як


D ′( p) = −167,88 × 2 p + 6686,3 = −335,76 p + 6686,3 , то елас-

 

тичність попиту від ціни розраховується наступним чином:

E (D) =            p          D ′( p) =          p          × (−335,76 p + 6686,3).

p          D( p)    −167,88 p2 + 6686,3 p − 64807

При ціні  p = 20 грн. цінова еластичність попиту дорівнює:

 

 

E p (D) =


 

20

−167,88 × 202 + 6686,3 × 20 − 64807


 

× (−335,76 × 20 + 6686,3) = −0,33.

 

Оскільки


E p (D) <1 , то при ціні  p = 20 грн. попит нееластичний.

 

Ринковий попит залежить від багатьох змінних. Якою  є його чут-

ливість до кожної з них? Відповідь на ці питання дають  коефіцієнти еластичності.

Нехай попит (D) на товар залежить від його ціни ( p1 ) , ціни іншо- го товару ( p2 ) та доходу  покупців (y) . Отже, D = D( p1, p2 , y).

Коефіцієнт еластичності попиту від  власної ціни (коефіцієнт

точкової еластичності) визначається за наступною формулою:


 

1

 

H         p1 u dD .

D         dp1

Коефіцієнт еластичності попиту від власної ціни показує, на скіль- ки відсотків зміниться попит на товар  при  зміні його власної ціни на

dD

 

1%. Тут


 

dp1


— це частинна похідна функції попиту D = D( p1, p2 , y)

 

за змінною ( p1 ) .

Так   як зі  збільшенням ціни


 

( p1 )


 

попит  D  падає,  то


 

dD

< 0 .

dp1

 

Еластичність попиту від власної ціни від’ємна.

Коефіцієнт перехресної еластичності попиту визначається за наступною формулою:

H         p2  u dD .

2

 

2          D         dp

Він   показує,  на   скільки  відсотків  зміниться  попит  на   товар при   зміні  ціни  іншого товару (субституту, комплементу) на  1%.

dD

 

Тут


 

dp2


—  це  частинна  похідна функції  попиту


D = D( p1, p2 , y)

 

за змінною ( p2 ) .

Якщо інший товар  є взаємозамінним (субститутом), то з ростом

( p2 ) росте  попит на власний товар, так  як при  інших рівних умовах

dD

 

покупець надасть перевагу менш дорогому товару. Тому


 

dp2


> 0 , а

 

 

коефіцієнт перехресної еластичності попиту H


p2  u dD .> 0 .

 

2

 

2          D         dp

Якщо інший товар є взаємодоповнюючим (комплементом), то з ростом

 

( p2 )


зменшується попит на  власний товар, оскільки збільшуються

dD

 

сукупні витрати на  придбання двох  видів  товарів. Тому


 

dp2


< 0 , і

 

 

коефіцієнт перехресної еластичності попиту H


 

p2  u dD .< 0 .

 

2

 

2          D         dp


 

При   dD = 0 товари характеризуються як незалежні.

dp2

Коефіцієнт еластичності за доходом визначається за наступною формулою:

y          dD

H y      u          .

D         dy

Еластичність попиту від доходу  покупців показує, на скільки від- сотків зміниться попит на товар при зміні доходу покупців на 1%. Тут

dD

 

 

dy

(y) .


— частинна похідна функції попиту D = D( p1, p2 , y) за змінною

 

 

З ростом доходів попит на якісні товари збільшується (εy >0), а спо- живання низькосортних товарів зменшується (εy <0).

 

Приклад 3.  Функція  попиту товару


D( p) = 75 − 2 p1 + 3 p2 + 0,2y.

 

Знайдемо коефіцієнт еластичності попиту від  власної ціни (ε1), кое- фіцієнт перехресної еластичності попиту (ε2), коефіцієнт еластичності за доходом (εy ) при власній ціні  товару (p1  = 5 грн.), ціні  іншого товару (p2  = 4 грн.) та доходів покупців (y = 1500 грн.).  Якими є ці товари вза- ємозамінними (субститутами) чи взаємодоповнюючими (комплемен-

тами)? Як поводиться попит зі зростанням доходів покупців?

 

 

Так  як


dD

= −2 , то коефіцієнт еластичності попиту від  власної

dp1

 

ціни визначається наступним чином:

 

1

 

H         p1 u dD


p1        u (-2)    -


2 u 5


 

-0,01.

 

D         dp1


75 - 2 p1 + 3 p2  + 0,2 y


75 - 2 u 5 + 3 u 4 + 0,7 u1500

 

 

 

 

Так  як


dD

= 3 , то  коефіцієнт перехресної еластичності попиту

dp1

 

визначається наступним чином:

 

2

 

H         p2  u dD


p2        u 3


3 u 4


 

0,01> 0

 

D         dp2


75 - 2 p1 + 3 p2  + 0,2 y


75 - 2 u 5 + 3 u 4 + 0,7 u1500


 

Тому товари взаємозамінні.

 

 

Так    як


dD

= 0,2,

dy


 

то    коефіцієнт   еластичності   за    доходом

 

визначається наступним чином:

 

 

y

 

H         y u dD


 

y          u 0,2


 

0,2 u 1500


 

0,27 > 0

 

D         dy


75 - 2 p1 + 3 p2  + 0,2 y


75 - 2 u 5 + 3 u 4 + 0,7 u 1500

 

Тому з ростом доходів покупців попит на товар  збільшується.