РОЗДІЛ 5 МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ЦІН 5.1. Метод найменших квадратів і оцінка кривої попиту

Цінова політика значною мірою  залежить від попиту, який фор- мується як сума індивідуальних попитів. В свою чергу, індивідуальні обсяги попиту залежать від доходів, уподобань покупців та рівня цін. Отже, ринковий попит — це сума  індивідуальних попитів, що відпо- відають певному рівню цін. На попит впливають дві групи чинників:

1)   цінові — ціна товару;

2)   нецінові — зміна уподобань покупця; зміна цін на субститути і комплементи; кількість покупців; коливання доходів покуп- ців;  цінові очікування покупців.

Крива попиту — це графік, який ілюструє залежність між ціною

та загальним обсягом попиту всіх покупців.

Між  попитом та  ціною  можливі наступні функціональні залеж- ності:

•           лінійна;

•           параболічна (квадратична);

•           обернена (гіперболічна).

Лінійна залежність. Крива, яка ілюструє лінійну залежність по- питу  від ціни представлена на рис.  5.1.


 

560

555

550

545

Q

540

535

530

 

 

525


 

0          20        40        60        80        100      120

P

 

 

Рис.5.1. Лінійна залежність між попитом та ціною

Математичний вигляд кривої попиту з лінійною залежністю опи- сується наступною формулою:

q = a0 + a1 p .

 

Параметри лінійної моделі


(a0 > 0) ,


(a1 < 0) вказують на  те,  що

 

при  збільшенні ціни попит зменшується рівномірно зі  швидкістю

(a1 ) . Наприклад, при  збільшенні ціни від  20  до 40  одиниць попит зменшиться так  само, як і при збільшенні ціни від 60 до 80 одиниць.

Параболічна (квадратична) залежність. Крива,  яка  ілюструє па- раболічну (квадратичну) залежність попиту від ціни представлена на рис.  5.2.

 

 

Рис. 5.2. Параболічна залежність між попитом та ціною


 

Математичний вигляд кривої попиту з параболічною (квадратич- ною) залежністю описується наступною формулою:

2

q = a0 + a1 p + a2 p .

Видно, що параболічна крива має параметри моделі (a1 < 0) , (a2 > 0)

, тобто,  має  вигляд лише однієї гілки параболи — спадаючої. Якщо

(a2 < 0) , то крива буде випуклою вверх. На відміну від лінійної моде- лі,  зменшення попиту при  збільшенні ціни відбувається прискорено

— зі швидкістю (a1 + 2a2 p) , тобто при  збільшенні ціни швидкість па- діння попиту зменшується. З рис.5.2 видно, що при  збільшенні ціни з 20 до 40 одиниць попит скорочується більше, ніж при  збільшенні ціни від 60 до 80 одиниць.

Обернена  (гіперболічна) залежність. Крива,  яка  ілюструє обер- нену   (гіперболічну) залежність  попиту  від   ціни  представлена на рис.  5.3.

Рис. 5.3. Обернена залежність між попитом та ціною

Математичний вигляд кривої попиту з оберненою (гіперболічною)

залежністю описується наступною формулою:

 

 

q = a0


a

+  1  .

p


 

 

Параметри гіперболи


(a0 )


та  (a1 )


додатні. Попит змінюється зі

 

 

швидкістю


 

(− a1 )

p2


 

, тобто  чим   вища ціна,  тим   менше змінюється

 

попит. Така крива попиту від  ціни (особливо в частині графіку від

 

p = 40 до


p = 100 ) характерна для  товарів з нееластичним попитом

 

(товари Гіфена).

До  здійснення продажів ще  невідоме математичне рівняння за- лежності попиту від ціни. На цьому етапі формування ціни відбува- ється на  основі  раніше розглянутих чинників ціноутворення. Для пошуку оптимального співвідношення ціни і попиту використовують метод найменших квадратів.

Метод  найменших квадратів застосовують, коли емпірична за- лежність між попитом та  ціною  відома, наприклад — лінійна, але треба оцінити її параметри. Він використовується для розрахунку па- раметрів моделі попиту від ціни та вибору найбільш точної, надійної та адекватної моделі (рис.  5.5).

Q

 

q1        x

q2        x

q3        x

q4

p1        p2        p3


 

 

q    a0  + a1 p

d

x

P

p4

 

Рис. 5.5. Графічне  пояснення  методу найменших квадратів

Припустимо, що за результатами спостережень, отримано чотири значення ціни на товар  ( p1 , p2 , p3 , p4 ) та значення відповідного попи- ту ( q1 , q2 , q3 , q4 ). Спершу будемо  вважати, що крива попиту від ціни має  лінійний вигляд. Тоді,  постає питання: Які  параметри лінійної


 

моделі слід  взяти, щоб  пряма проходила якнайближче до точок на площині.

Метод, який дозволяє отримати параметри прямої (або іншої лі- нії) так, що вона буде проходити якнайближче до точок, зображених на рис.5.5, називається методом найменших квадратів.

-  Нехай крива попиту, яку зображено на  рис.  5.5, має  рівняння

 

(q = a0 + a1 p) , параметри (a0 )


та  (a1 ) невідомі. Знайдемо їх за умови

 

мінімізації квадратів похибок (відстаней d ) між заданими значен-

нями попиту -( q ) та  значеннями, що  знаходяться на  прямій, що  їх апроксимує ( q ).

2          - 2        2

 

min ∑d


= ∑(q − q )


= ∑(q − a0 − a1 p)


(5.1)

 

 

Відомо, що функція набуває найменшого чи найбільшого значен- ня в точках, де її похідна, чи часткові похідні, дорівнює нулю  або не існує. Параметри лінійної моделі знаходимо з умови, що частинні по- хідні функції (5.1)  за змінними (a0 ) та  (a1 ) дорівнюють нулю. Отри- маємо формули, за якими знаходять значення параметрів (a0 ) та (a1 ) методом найменших квадратів:

n∑ pq − ∑ p∑q

 

a1 =


n∑ p2 − (∑ p)2


(5.2)

 

 

 

a  = q − a p =  ∑ q − a1 ∑ p


 

(5.3)

 

0          1          n          n

де n — кількість пар значень ціна-попит;

q — середнє значення попиту;

p — середнє значення ціни.

Приклад 1. Для  дослідження функції попиту від ціни продавець провів пробний продаж нового виду шампуню. Товар пропонувався за різними цінами в п’яти рітейлерських мережах: «Сільпо», «Копей- ка», «Таврія-В», «Віртус», «Фуршет» (5.1).


 

 

 

Обсяги продажу шампуню


Таблиця 5.1

 

 

 

 

«Сільпо»

«Копей- ка»

 

«Таврія-В»

 

«Віртус»

«Фур- шет»

 

Ціна, ( p) , грн.

 

20,5

 

19,5

 

21

 

22

 

21,5

Обсяг прода- жу, (q) шт.

 

1674

 

1745

 

1602

 

1028

 

1346

 

Перш ніж розраховувати параметри лінійної моделі, побудуємо діаграму розподілу обсягів продажу та цін (рис.  5.6).

 

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0


19        19,5     20        20,5     21        21,5     22        22,5

Рис. 5.6. Діаграма розподілу  обсягів продажу  та цін

 

 

Видно, що точки розташовані не на прямій, але й не розкидані да- леко  від прямої. По-перше, припустимо, що функція попиту лінійна. Щоб розрахувати параметри лінійної моделі за формулами 5.2  та 5.3 побудуємо табл. 5.2.


 

Таблиця 5.2

Допоміжні дані для отримання параметрів лінійної  моделі

 

 

n

 

p

 

q

 

pq

 

p2

1

20,5

1674

34317

420,25

2

19,5

1745

34027,5

380,25

3

21

1602

33642

441

4

22

1028

22616

484

5

21,5

1346

28939

462,25

 

104,5

 

7395

 

153541,5

 

2187,75

 

Знайдемо значення параметра (a1 ) :

∑     ∑

 

n          pq −     p          q          5 ×153541,5 −104,5 × 7395

a =       =          = −274,054.

 

1          n∑ p2 − (∑ p)2


5 × 2187,85 −104,52

 

 

Знайдемо значення параметра (a0 ) :

a  = q − a p =  ∑ q − a1 ∑ p = 7395 + 274,054 × 104,5 = 7206,729 .

0          1          n          n          5          5

Лінійна функція попиту в розглянутому прикладі має наступний вигляд:

-

q = 7206,729 − 274,054 p .

Для  знаходження параметрів функції попиту від ціни зручно ви- користовувати табличний процесор EXCEL (рис.  5.7).


 

 

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0


y = -274,05x + 7206,7

R2 = 0,8055

19        19,5     20        20,5     21        21,5     22        22,5

 

 

Рис. 5.7. Лінійна функція попиту, отримана в EXCEL

Для  цього треба побудувати діаграму розподілу і на графіку за до- помогою правої клавіші викликати контекстне меню, де вибрати «До- бавить линию тренда». На  графіку також можна вивести рівняння моделі та коефіцієнт детермінації (R 2 ) , який показує відсоток варі- ації  даних, що пояснюється моделлю. Лінійна функція пояснює 81% варіації даних, оскільки (R 2  = 0,8055) .

По-друге, припустимо, що функція попиту є параболічною (ква- дратичною). Скористаємося табличним процесором EXCEL  для оцінки параметрів параболічної функції попиту від ціни. Для  цього обираємо тип  лінії тренду — «поліноміальна другого ступеню». На графік виводимо рівняння кривої попиту та значення коефіцієнту де- термінації (рис.  5.8).


 

2000

1800              

1600

1400

1200

1000

800

 

600

400

200

0


y = -167,88x2 + 6686,3x - 64807

R2 = 0,9929

19        19,5     20        20,5     21        21,5     22        22,5

 

 

Рис. 5.8. Параболічна функція попиту, отримана в EXCEL

Лінія, що була отримана для апроксимації параболою, знаходить- ся до точок ближче, ніж пряма. Її рівняння має вигляд:

Q = −167,88 p2 + 6686,3 p − 64807 .

Коефіцієнт детермінації у параболи 99,29%.

По-трєтє, припустимо, що функція попиту є оберненою (гіпербо- лічною). Щоб отримати гіперболічне рівняння кривої попиту від ціни, необхідно побудувати допоміжний стовпчик з даними (табл.5.3).

Таблиця 5.3

Допоміжні дані для отримання гіперболічної (оберненої) кривої

 

 

n

 

p

 

1

p

 

q

1

20,5

0,04878

1674

2

19,5

0,051282

1745

3

21

0,047619

1602

4

22

0,045455

1028

5

21,5

0,046512

1346


 

У побудові діаграми розсіювання будемо  використовувати лише

1

стовпчик (      ) та (q(y)) .

p(x)

Рівняння гіперболічної функцію попиту має вигляд:

q = −4037,1 + 115088 .

p

Це рівняння пояснює лише 77,54% варіації даних, що гірше ніж у параболічної та лінійної кривої попиту (рис.5.9).

 

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0


y = 115088x - 4037,1

R2 = 0,7754

 

0,045   0,046   0,047   0,048   0,049   0,05     0,051   0,052

Рис. 5.9. Гіперболічна функція попиту, отримана в EXCEL

Таким чином, для прийняття рішень щодо ціноутворення, оцінки еластичності попиту за ціною  та прогнозування попиту краще вико- ристовувати параболічну модель попиту, ніж лінійну та гіперболічну.