3.4 Визначення вартості грошей у часі

Питання вартості грошей в часі є основним у фінансових дисциплінах (фінанси підприємства, фінансовий менеджмент тощо). Деякі стандарти бухгалтерського обліку також вимагають використання концепції теперішньої вартості для оцінки певних операцій з довгострокової оренди, довгострокових фінансових інвестицій тощо. Розрахунок теперішньої вартості необхідний також для визначення суми платежів для поетапного погашення довгострокових позик.

Врахування впливу часу на вартість грошей дозволить одержати реальну, достовірну оцінку статей фінансової звітності.

Вплив часу на вартість грошей полягає в наступному: ми завжди більше цінуємо гроші, одержані сьогодні навіть у меншій сумі, ніж ті, що будуть одержані завтра, але в дещо більшому розмірі. Тобто з часом гроші знецінюються, втрачають свою вартість: "Краще синиця в руках, ніж журавель у небі". Таким чином, якщо ви відмовляєтесь від одержання грошей негайно, то вимагатимете за це певну премію за ризик - проценти.

Проценти - це плата, яка одержується або виплачується за користування грошима. Розрізняють прості і складні проценти.

Прості проценти - це проценти, які нараховуються тільки на основну суму грошових коштів.

Припустимо, ви поклали на рахунок в банку 2000 грн. на 3 роки під 20% річних. Тоді сума процентів за 3 роки складатиме:

2000x20%x3 роки=1200 (грн.) Запишемо   формулу   для   обчислення   простих   процентів у загальному вигляді:

ПП=I0xixn

де ПП - сума простих процентів у грошовому виразі; І0   - основна (початкова) сума грошових коштів; I    - процентна ставка за один період (наприклад, рік); П  - кількість періодів, за які нараховуються проценти. Знаючи суму процентів за всі періоди нарахування, можна обчислити вартість вашого вкладу після його повернення, яка складатиметься з нарахованих процентів та основної суми вкладу: 2000+1200=3200 (грн.) Таким чином, ми підійшли до поняття майбутньої вартості: це вартість наявної на даний час суми в певний момент у майбутньому з урахуванням заданої процентної ставки.  У загальному вигляді майбутня вартість за простими процентами обчислюється таким чином:

МВ=І0+ПП= І0+ 1^п= (1+ixп)

де МВ - майбутня вартість грошей.

Досить часто виникає необхідність розв'язання оберненої задачі - обчислення теперішньої вартості грошей, якщо відома їх майбутня вартість. Тобто у даному випадку невідомою є початкова сума грошей.

Отже, теперішня вартість - це поточна вартість суми, яку можна буде одержати в майбутньому за певною ставкою процентів.

З попередньої формули одержимо вираз для обчислення теперішньої вартості за простими процентами:

I0=TВ=МВ/(1+ixп)

де ТВ - теперішня вартість.

За нашим прикладом будемо мати:

ТВ = 3200/(1+0,2x3) = 3200/1,6 = 2000 (грн.)

Процес визначення теперішньої вартості часто називають дисконтуванням, а використовувану при цьому процентну ставку -ставкою дисконтування (капіталізації).

Слід відмітити, що у фінансах у переважній більшості випадків використовують складні проценти, тому розглянемо це поняття більш детально.

Складні проценти - це проценти, які нараховуються не тільки на основну суму грошових коштів, але і на нараховані в попередні періоди проценти.

Повернемося до вищевказаного прикладу. На кінець першого року майбутня вартість ваших грошей складе:

MВ1=I0+I0xі=I0x(l+і)=2000x(1+0,2)=2400 (грн.) На   кінець   другого   року,   вже   з   урахуванням попередньо нарахованих процентів, матимемо:

МВ^МВ^НГН^Ж^НГН^ (1+і)2=2000x(1+0,2)2=2880 (грн.)

По закінченню третього року майбутня вартість вкладу складатиме:

МВ^МВ^КГи I0x(1+і)2x(l+і)=I0x(l+і)3=2000x(1+0,2)3=3456 (грн.)

Остання сума (3456 грн.) належить вам в кінці третього року, яка складається з початкової суми та нарахованих складних процентів. Саме вона і є майбутньою вартістю вашого вкладу.

Запишемо формулу для обчислення майбутньої вартості за складними процентами у загальному вигляді:

 

Звідси одержуємо формулу теперішньої вартості за складними процентами:

ТВ=І0=МВ/(1+і)п

Відмітимо, що вираз (1+і)п називають фактором (множником, коефіцієнтом) майбутньої вартості, а вираз 1/(1+і)п - дисконтним фактором (множником, коефіцієнтом). Числові значення цих виразів при різних значеннях і та п зведені у спеціальні таблиці (додатки Є, Ж, З, И). Таблиці значно полегшують підрахунки: достатньо знайти відповідне значення фактора на перетині заданих і та п і помножити їх на теперішню або майбутню вартість. Проте слід мати на увазі: для більш точних розрахунків краще користуватись формулами, а не таблицями, в яких наведено округлені значення.

Наприклад, обчислимо за допомогою таблиць майбутню вартість вкладу із нашого прикладу:

MВ=2000x1,728=3456 (грн.) Множник 1,728 знаходиться на перетині стовпчика і=20% і рядка п=3 роки (додаток Є).

Теперішню вартість вкладу за допомогою таблиці з додатку Ж обчислимо наступним чином:

ТВ=3456х0,579=2000 (грн.)

Множник 0,579 ми знайшли на перетині стовпчика і=20% і рядка п=3 роки.

Досить часто виникає потреба в обчисленні теперішньої або майбутньої вартості рівних за вартістю платежів, які здійснюються через рівні проміжки часу. Такі платежі прийнято називати ануїтетом. Розрізняють ануїтет з виплатою в кінці кожного періоду (звичайний ануїтет) та з виплатою на початку кожного періоду. Прикладом ануїтету можуть служити погашення частинами довгострокового кредиту, здійснення внесків до приватного пенсійного фонду тощо.

Для прикладу припустимо, що ви протягом трьох років (в кінці кожного року) одержуєте кошти по 2000 грн. і одразу ж кладете їх на депозит під 20% річних. На рис. 3.1 показано послідовність грошових потоків.

12 3

І           1          1          1          ►

2000    2000 2000

0          Кінець року

Рис. 3.1 - Послідовність грошових платежів (звичайний ануїтет)

Щоб обчислити майбутню вартість платежів за 3 роки, необхідно обчислити майбутню вартість кожного з окремих платежів з урахуванням строку його виплати:

ий рік: 2000х(1+0,2)2=2880 (грн.);

ий рік: 2000х(1+0,2)1=2400 (грн.);

ій рік: 2000х(1+0,2)0=2000 (грн.)

Зверніть увагу, що у третьому році складні проценти не нараховуються, так як цей момент співпадає з моментом виплати останнього платежу і з моментом обчислення майбутньої вартості.

Майбутня вартість платежів за три роки - це сума майбутніх вартостей окремих платежів: 2880+2400+2000=7280 (грн.)

(1 + і)" -1 і

Отже, можна записати:

МВА= Ах (1 + і)п-1 + Ах (1 + і)п-2 +... + Ах (1 + і)0 = Ах£(1 + i)"-' = Ax

(=1

де МВА - майбутня вартість ануїтету; А    - періодичний платіж.

 

= 7280

У нашому випадку матимемо:

<' (1 + °'2)3 ~1

(грн.)

°'2

Для спрощення обчислень можна скористатись спеціальною таблицею (додаток 3), де знаходимо необхідний множник на перетині стовпчика і=20% і рядка п=3 роки, який дорівнює 3,64. Таким чином, майбутню вартість наших платежів обчислимо так: МВА=2000х3,64=7280 (грн.)

Щоб дізнатись, скільки коштуватимуть майбутні рівномірні платежі на сьогоднішній день, необхідно обчислити теперішню вартість ануїтету. Розглянемо цю ситуацію на прикладі.

Припустимо, що ви знімаєте зі свого рахунку в банку щорічно по 2000 грн. Банк надає 10% річних (складні проценти). Строк вкладу -3 роки. Необхідно знати, яку суму ви повинні покласти на рахунок прямо зараз, щоб на кінець третього року на ньому нічого не залишилось за збереження всіх вказаних вище умов.

В загальному, щоб знайти теперішню вартість всіх платежів за три роки, необхідно обчислити теперішню вартість кожного окремого платежу (привести їх вартість до даного моменту - точки 0). Якщо це звичайний ануїтет, то платіж в кінці першого року необхідно дисконтувати за один рік, в кінці другого року - за два роки і так далі. Запишемо цей процес за допомогою формули:

 

(1 + і)1   (1 + і)2      (1 + і)п      £(1 + /у

де ТВА - теперішня вартість ануїтету.

3а умовою нашого прикладу будемо мати:

2000        2000 2000

ТВА =             +                      +                      = 4973,70 (грн)

(1 + 0,1)1   (1 + 0,1)2    (1 + 0,1)3 (грн.)

Обчислення можна спростити, якщо скористатись допоміжною таблицею (додаток И):

ТВА=2000х2,487=4974 (грн.)

Невелика різниця в розрахунках (0,30 грн.) утворилась за рахунок заокруглення дисконтного множника у таблиці.

Таким чином, необхідно сьогодні вкласти 4974 грн., щоб потім мати можливість щороку протягом трирічного періоду знімати зі свого рахунку по 2000 грн.

Насамкінець слід зауважити наступне. У всіх попередніх прикладах наводились ситуації, коли виплати здійснюються один раз

113

на рік. Проте досить часто необхідно здійснювати розрахунки, коли є щомісячні, щоквартальні платежі тощо. Виникає питання: як діяти в цьому випадку? Розглянемо подібну ситуацію на прикладі.

Припустимо, необхідно визначити, скільки можна одержати коштів, якщо сьогодні вкласти в облігації на 5 років 1000 грн. з нарахуванням 12% (складні) в кінці кожного кварталу. Тобто необхідно знати майбутню вартість 1000 грн. через 5 років. У даному випадку будемо мати:

кількість періодів нарахування відсотків п=5 роківх4 квартали=20; ставка дисконтування і=12% /4 квартали=3% на квартал;

МВ=1000х(1+0,030)20=1806,11 (грн.) Або за допомогою таблиці (додаток Є), де знаходимо необхідний множник на перетині стовпчика і=3% і рядка п=20 періодів (кварталів). :

МВ=1000х1,806=1806 (грн.)