12.2. ПРОГНОЗУВАННЯ НА ОСНОВІ ВИКОРИСТАННЯ НЕВЛАСНИХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

12.2.1. ПРИЧИНИ ВИНИКНЕННЯ НЕСУМІСНИХ ЗАДАЧ ФІНАНСОВОГО ПЛАНУВАННЯ ДІЯЛЬНОСТІ ПІДПРИЄМСТВА

Широке використання математичних методів — важливий напрямок удосконалення фінансового планування, підвищує ефек­тивність аналізу діяльності підприємства, його підрозділів та видів діяльності. Це досягається за рахунок скорочення термінів пла­нування, більш повного врахування впливу факторів на резуль­тати комерційної діяльності, заміни приблизних або спрощених розрахунків точними обчисленнями, постановки і розв' язку но­вих багатовимірних задач планування, практично невиконува-них вручну або традиційними методами.

Наука про управління підприємством неперервно збагачує арсенал своїх методів і засобів. Причиною появи економіко-ма-тематичних методів послужило ускладнення економіки і управ­ління господарством. Економіко-математичні методи у поєднанні із сучасною обчислювальною технікою в рамках різного роду автоматизованих систем стають важливим елементом фінансо­вого планування і управління господарством на підприємствах, у галузях і міжгалузевих комплексах. Ці методи все більш активно використовуються у практиці розробки і реалізації планів еконо­мічного і соціального розвитку. Складовою частиною цього зав­дання є створення єдиної системи оптимального фінансового планування на базі широкого застосування математичних методів та ЕОМ в економіці.

Застосування математичних методів у фінансовому плану­ванні діяльності підприємства потребує:

системного підходу до вивчення економіки підприємства, урахування всього різноманіття існуючих взаємозв'язків між різними видами діяльності;

розробки комплексу економіко-математичних моделей, що відображають кількісну характеристику економічних процесів і задач;

удосконалення системи економічної інформації про ро­боту підприємств тощо.

На рис. 12.1 наведено орієнтовну схему основних матема­тичних методів, що можуть використовуватися у фінансовому плануванні.

В економічних задачах планування і управління часто вини­кають протиріччя, причинами яких можуть бути: неточність інформації, невизначеність вимог, ідеалізація чи викривлення деяких співвідношень. Математичні моделі суперечливих еконо­мічних задач є невласними задачами, які через ті чи інші причи­ни не мають розв' язку. Вивчення в сучасній математиці задач або теоретичних моделей, що містять протиріччя, пов'язане з необхідністю наукового обґрунтування процедур коригування таких задач і моделей.

Практика вирішення виробничих завдань планування при­звела до необхідності розробки теорії і методів аналізу (зокрема кількісного) невласних задач математичного програмування, хоча для цього були причини і суто внутрішнього для математичного програмування характеру (несумісні системи нерівностей, мето­ди їх апроксимації з метою застосування різних розділів матема­тики).

Економіко-математичні методи

Методи елементарної математики

Класичні методи математичного аналізу


Диференціальні і інтегральні обчислення
Варіаційні обчислення        

Подпись:
Методи вимірювання одновимірних статистичних сукупностей Методи вимірювання багатовимірних статистичних сукупностей

Економічні методи


Виробничі методи

Методи «витрати-випуск» (міжгалузевий
баланс)          

 

ин


Методи математичного програмування


Невласні задачі лінійного і випуклого

програмування

Блочне програмування

Нелінійне програмування (цілочислове,

квадратичне, параметричне і т. д.)

Динамічне програмування

Подпись:
Розв'язування лінійних програм Управління запасами Матричні методи аналізу Математична теорія ігор Теорія розкладу

Сітьові методи планування та управління Теорія масового обслуговування

Методи економічної кібернетики


Системний аналіз Методи імітації Методи моделювання Методи навчання, ділові ігри Методи розпізнавання образів

Математична теорія

оптимальних
            процесів        


Максимум Понтрягіна для управління техніко-економічними процесами Максимум Понтрягіна для управління ресурсами

Евристичні методи

 

Рис. 12.1. Орієнтовна схема економіко-математичних методів у фінансовому плануванні діяльності підприємства

Ситуація, коли модель математичного програмування, роз-в' язувана відповідно до реального економічного завдання, є не­власною (нерозв'язуваною), виникає дуже часто. Звичайно, у цьому випадку, виходячи з тих чи інших евристичних міркувань, можна зняти чи послабити ряд обмежень, скоригувати вихідні дані і добитися того, що задача буде розв'язуваною. Проте важ­ливіший і доцільніший підхід, що базується на використанні об'єктивних процедур для корекції такої моделі, тобто для пере­творення її в розв'язувану.

Таким чином, можна сформулювати таке поняття невласної задачі: це задача, яка не має властивості одночасної розв'язува-ності прямої і двоїстої задач і збігу їх оптимальних значень. Для знаходження розв'язку невласної задачі лінійного програмуван­ня коригується і система обмежень, і сама функція.

Напрямок, пов'язаний з вивченням невласних задач мате­матичного програмування, вважається перспективним, а засто­сування числових алгоритмів розв'язування невласних задач при аналізі реальних економічних систем — актуальним.

Основні причини появи несумісних задач фінансового пла­нування діяльності підприємства можуть бути виявлені лише шляхом вивчення поведінки реальної виробничої системи і прак­тики планування. Відзначимо такі характерні моменти. Систему підприємства слід розглядати як обмежену ймовірнісну систему, поведінка якої визначена основними питаннями об'єктивних економічних законів розвитку системи господарювання. Основ­на реалізація цих законів відбувається через систему фінансово­го планування. Проте в ній мають місце випадкові збурення і стохастичні зв'язки, які привносять фактор невизначеності в процес планування виробництва.

З іншого боку, в кожний конкретний момент часу суспіль­ство володіє кількісно визначеними (обмеженими) виробничи­ми ресурсами, і суспільні потреби перевищують можливості їх задоволення. Тому для більш повного задоволення зростаючих потреб суспільства необхідно якнайповніше використати мож­ливості виробництва. Таким чином, прагнення найбільш ефек­тивно організувати діяльність підприємства в умовах ринку за наявності фактора невизначеності може породити несумісність задач оптимального фінансового планування. Ця гіпотетична можливість реалізується через існуючу систему планування.

Досвід роботи із суперечливими моделями і невласними за­дачами приводить до різноманітних конструкцій, серед яких найпростіші пов'язані з тими чи іншими видами корекції, що приводять до несуперечливих моделей.

Суперечливі теоретичні моделі, застосовувані у фінансовому плануванні підприємства, в умовах переходу до ринкової еконо­міки відображають складні соціальні й техніко-економічні ситуації.

Причинами виникнення невласних моделей, що описують задачі фінансового планування і управління на підприємствах, є:

ресурсний дефіцит;

напруженість плану;

відсутність резервів виробничих потужностей;

неточність і недостовірність економічної інформації;

урахування суперечливих директив і т. ін.

Звичайно, це перелік тільки деяких причин виникнення су­перечливих моделей, що мають більш-менш загальний характер. Практика розв'язання виробничих завдань фінансового плану­вання показує, що виникнення невласних моделей — це досить звична ситуація в даній системі.

Так, при розробці планових програм розвитку підприємства використовується принцип багатоступінчастості (ієрархічності) проведення розрахунків. У цьому випадку на більш високому рівні ієрархії у зв' язку з інформаційними і обчислювальними трудно­щами нижчий (локальний) об'єкт фінансового планування опи­сується агрегованою моделлю. Описані в агрегованій (а отже, неповній) економіко-математичній моделі ресурси співвідносять­ся з попитом на продукцію (вироби, послуги), і при існуючій економічній ситуації, коли продукція більшості підрозділів і видів діяльності підприємства дефіцитна, обирається варіант плану з максимальним, безрезервним використанням ресурсів. Встанов­лене таким чином планове завдання при більш повному враху­ванні ресурсних можливостей об' єкта фінансового планування може бути невиконуваним для оптимізованої задачі.

Проблеми несумісності поглиблюються ще й тим, що бага­то ресурсів, в минулому не настільки дефіцитних і за традицією не враховуваних необхідною мірою (вода, деревина, електрое­нергія, газ тощо), в наш час істотно лімітують випуск продукції. Наприклад, забезпеченість трудовими ресурсами. У зв'язку з цим необхідно враховувати умови, що описують інтереси відтворен­ня робочої сили. Недостатні капітальні вкладення у житлове бу­дівництво, у забезпечення умов праці та відпочинку, недоско­налість форм оплати праці, характерні для ринкової економіки, врешті-решт, можуть викликати зниження ресурсних можливос­тей оптимізованих систем і призвести до суперечливих ситуацій.

Ще однією причиною, що викликає суперечливі ситуації, є практика фінансового планування від досягнутих показників, коли без відповідного аналізу можливостей об'єкта планування вста­новлюється дещо більше планове завдання з випуску продукції (послуг), ніж у попередній період. Причини живучості такої схе­ми фінансового планування очевидні — надзвичайна простота розрахунків.

Але якщо планове зростання виробництва продукції не за­безпечується необхідними ресурсними можливостями, це при­зводить до встановлення невиконуваного планового завдання. Така ситуація має очевидні негативні економічні наслідки, особ­ливо в нових умовах господарювання. Дійсно, в цьому випадку об' єкт фінансового планування буде намагатися виконати пла­нове завдання за рахунок підвищення матеріаломісткості про­дукції, зниження частки трудомістких, але, як правило, дефіцит­них виробів, збільшення фонду роботи обладнання шляхом не­виправданого зменшення часу на капітальні та планово-запобіжні ремонти, внаслідок неефективного використання деяких видів матеріальних і трудових ресурсів, що, в кінцевому підсумку, приз­водить до серйозних порушень технології виробництва, знижен­ня якісних характеристик продукції, що випускається, збільшення термінів освоєння нових її видів. Природно, що в цьому разі стимулюючу роль оціночних показників практично зведено до нуля, тому що відсутня можливість вибору оптимального варіан­та з багатьох допустимих планових програм.

Необхідно також відзначити, що підвищення ефективності та інтенсифікації виробництва викликає необхідність постійних нововведень, швидкого впровадження нових наукових розробок, зміни структури й номенклатури виготовлюваної продукції. У цьому випадку об'єкт фінансового планування повинен мати деякі ре­зерви ресурсів для підвищення мобільності підприємства, його сприйнятливості до реалізації досягнень науково-технічного про­гресу. Тому, на наш погляд, доцільно при розробці планових зав­дань встановлювати локальному об'єкту такі показники з випуску продукції, щоб у передплановий період була певна свобода вибо­ру планових рішень. Така процедура встановлення планових про­грам приводить і до більш повної реалізації принципу плануван­ня і управління народним господарством, що передбачає існу­вання свободи вибору рішень в умовах локального об'єкта.

Аналізуючи діяльність підприємства як самостійного госпо­дарського механізму, необхідно відзначити, що особливості його діяльності та практика фінансового планування, що склалася, спричиняють несумісність ряду задач оптимального фінансового планування. Найбільш характерні з них такі:

Складність і багаторівневість управління підприємством.

Порівняно великий обсяг вихідної техніко-економічної інформації, неможливість евристичного визначення найбільш суттєвих розділів цієї інформації і внаслідок цього неможливість апріорної оцінки ситуації, що складається на підприємстві в ціло­му.

Складність відображення в одній економіко-математичній моделі всіх факторів, що істотних впливають на діяльність підприємства.

Наявність неформалізованих умов виробництва (як пра­вило, технологічних особливостей) і суперечливий характер ряду співвідношень в економіко-математичних моделях оптимізації фінансових планів.

Жорсткість умов, що накладаються на фінансовий план виробництва продукції, прагнення одержати план, оптимальний за певними суперечливими критеріями, збіг цілей у часі.

Відсутність комплексності фінансового планування, що часто є результатом різнопрофільності видів діяльності підрозділів, що входять до структури підприємства.

Причини, що викликають несумісність задач оптимального фінансового планування діяльності підприємства, можна поділити на дві групи: об'єктивні та суб'єктивні.

До першої групи входять причини, обумовлені самою ви­робничою діяльністю або особливістю її фінансового плануван­ня:

а)         складний характер виробництва, що об'єднує різні підга-
лузі зі складними взаємозв'язками;

б)         наявність зон невизначеності у ході виробничої діяль-
ності;

в)         наявність неконтрольованих зовнішніх впливів як на хід
виробництва, так і на процес прийняття рішень при фінансово-
му плануванні;

г)         об'єктивна неможливість повної відповідності фінансо-
вого плану і характеру його виконання, тому що хід виробництва
є реальним процесом, а план — це деяка модель.

Друга група об'єднує причини, що характеризують реаль­ний стан справ на підприємстві під час прийняття оптимальних рішень при фінансовому плануванні організаційно-економічно­го механізму господарювання. До цієї групи належать:

а) відставання у часі отримання у повному обсязі необхідної і достовірної вихідної техніко-економічної інформації для опти­мального фінансового планування;

б)         відсутність досить повного узгодження інтересів окремих
підрозділів і видів діяльності та всієї системи в цілому;

в)         недосконалість існуючих моделей, методів, алгоритмів
оптимального фінансового планування діяльності підприємства;

г)         відставання прогнозування від планування і відсутність
необхідного взаємозв'язку фінансового планування та прогнозу-
вання, що не дозволяє правильно оцінювати деякі визначальні
параметри підприємства;

д)         наявність суб' єктивних оцінок у процесі прийняття рішень
при фінансовому плануванні діяльності підприємства, коли час-
то перевищують внутрішні резерви виробництва.

Для подолання труднощів, що виникають у ході оптимізації фінансових планів виробництва в умовах несумісності, здійсню­вався пошук нових шляхів, підходів до аналізу виробничих ситу­ацій, процесу прийняття рішень при оптимальному фінансовому плануванні. У такому пошуку виходили з того, що необхідно за­безпечити виконання таких основних операцій:

виділення найбільш суттєвих розділів вихідної техніко-економічної інформації, що впливають на несумісність; визна­чення ядра несумісності, тобто тих небагатьох обмежень, наявність яких обумовлює несумісність для подальшого детального їх ана­лізу;

одержання кількісних оцінок ступеня несумісності у зада­чах оптимального фінансового планування;

побудова таких економіко-математичних моделей фінан­сового планування діяльності підприємства з відповідним алго­ритмічним забезпеченням, які враховували б той реально існую­чий факт, що для отримання частини вихідної техніко-економіч-ної інформації (визначеної оптимальним чином) необхідно зна­ти оптимальний фінансовий план.

 

Питання для самоконтролю

Які умови необхідно виконувати для застосування матема­тичних методів у фінансовому плануванні?

Які основні математичні методи використовуються у фінан­совому плануванні?

Сформулюйте поняття власної задачі лінійного програму­вання.

Наведіть основні причини виникнення невласних моделей, що описують задачі фінансового планування і управління.

Які фактори спричиняють несумісність ряду задач опти­мального фінансового планування?

Наведіть об'єктивні причини, що викликають несумісність задач оптимального фінансового планування.

Які суб'єктивні причини викликають сумісність задач оп­тимального фінансового планування ?

Які операції необхідно виконати для подолання труднощів, що виникають у ході оптимізації фінансових планів виробництва в умовах несумісності?

12.2.2. МЕТОДИ ПОДОЛАННЯ НЕСУМІСНИХ ОБМЕЖЕНЬ В ЗАДАЧАХ ПЕРСПЕКТИВНОГО І ПОТОЧНОГО ФІНАНСОВОГО ПЛАНУВАННЯ

Для розробки виробничих програм поточного і перспектив­ного фінансового планування діяльності підприємств необхід­ною умовою їх функціонування є облік різних факторів (умов), таких як режим роботи підприємства, вид залежності витрат від обсягів випуску продукції, узгодженість в роботі окремих струк­турних підрозділів і т. д. З метою наочності та спільності викла­дення процедур коректування суперечливої системи обмежень пропонований підхід до подолання несумісності в задачах перс­пективного і поточного фінансового планування подається на прикладі найбільш простих моделей задач фінансового плану­вання виробничо-господарської діяльності.

12.2.2.1. КЛАСИФІКАЦІЯ НЕВЛАСНИХ ЗАДАЧ ЛІНІЙНОГО І ВИПУКЛОГО ПРОГРАМУВАННЯ

Запишемо задачу лінійного програмування:

Ь :шах{(с, х): Ах<Ь, х> 0, хє 2}, (12.1)

де

 

 

А


сТ = [си с2,..., сп ] є Еп,

ЪТ = [Ь1, Ь2,..., Ът ] є Ет, а}- = [а]Л, а}- 2,...,     ] є Еп, і] = т).

 

Тут Z — множина цілих чисел. Нехай ~ — її оптимальне значення.

Форма запису (12.1) задачі Ь зручна через стандартну ви­робничо-економічну інтерпретацію, згідно з якою Ь — вектор ресурсів, с — вектор цін. Стовпці матриці А моделюють техно­логічні способи шляхом задання витрат ресурсів, що припада­ють на одиничну інтенсивність використання відповідних спо­собів, так що вектор інтенсивності х = х2,..., хп]тзадає рівень виробництва (фінансовий план виробництва).

Двоїстою до (12.1) є задача лінійного програмування

Ь*:шт{(Ъ, и): АТи > с, и > 0, и є 2), (12^) ~ — її оптимальне значення. Введемо позначення:

М = {х > 0; х є 2 : Ах < Ъ),

М* = {и > 0; и є 2 : АТи < с).

Ці множини називаються допустимими для Ь і Ь* відповід­но.

Основний факт, що пов'язує задачі Ь і Ь*, формулюється як теорема двоїстості: якщо задача Ь розв'язувана, то Ь* також роз­в'язувана, при цьому їх оптимальні значення збігаються: І = І .

Якщо задача Ь розв'язувана, то вона називається власною задачею, якщо ж ні — невласною.

Припущення М Ф 0, М* Ф 0 рівносильне розв'язуваності задачі Ь, а отже, і задачі Ь*.

Якщо задача Ь є власною, то можливі такі три випадки:

М = 0, М* ф 0; Мф 0, М* = 0; М = 0, М* = 0.


(12.3)

(12.4)

(12.5)

Залежно від виконуваності однієї з умов (12.3)—(12.5), буде­мо говорити про невласну задачу Ь, відповідно 1-го, 2-го та 3-го роду.

З цієї класифікації невласних задач лінійного програмуван­ня видно, що якщо Ь — невласна задача 1-го роду, то Ь* — 2-го роду (і навпаки); якщо Ь — невласна задача 3-го роду, то Ь* — також невласна задача 3-го роду (і навпаки).

Розглянемо кожну з цих умов. Перша з них означає, що, як тільки при деякому прирощенні АЬ є Е система нерівностей

Ах < Ь + АЬ, х > 0, х є Z


(12.6)

сумісна, то задача

max{(c, x) : Ax < b + At, x > 0, x є Z} (12.7)

розв'язувана.

Дійсно, із сумісності системи (12.6) і умови M* ф 0 слідує розв'язаність (12.7), а отже, в силу теореми двоїстості і

min{(b + At, u) : ATu > c, u > 0, u є Z}. (12.8)

Також, якщо при деякому At задача (12.7) розв'язувана, отже, розв'язувана і задача (12.8), то M* ф 0.

Умова (12.4) означає, що в задачі L оптимальне значення ~ дорівнює +оо. А умова (12.5) еквівалентна тому, що при будь-якому прирощенні At, що забезпечує розв'язуваність системи (12.6), оптимальне значення задачі (12.7) дорівнює + °°, що є на­слідком теореми двоїстості для задач лінійного програмування.

Запишемо задачу випуклого програмування у формі

C : sup{f0(x) : f(x) < 0, j = 1,..., m, x > 0, x є Z}, (12.9)

де Z — множина цілих чисел.

Уведемо позначення: f — оптимальне значення задачі (12.9),

M* = \м > 0, u є Z : supF(x, u) < +°

x>0

ДЄ F (x, u) = f()( x) - V Ujfj (x); f *(u) = sup F ( x, u). Двоїстою до C будемо розуміти задачу

C*:infsup F ( x, u) (12.10)

uг0 x>0

або еквівалентну їй задачу

 

іпґ|/: /(х) -        (х) < /, м;- > 0 • і = \,...т, х > 1, хє 11>.

Остання має вигляд задачі лінійного програмування з не­скінченним числом обмежень. Задача (12.9) називається влас­ною, якщо

-~< / = 7 <+*>, (12.11)

де 7 — оптимальне значення задачі (12.10); у протилежному ви­падку — невласною.

Виокремимо (як у лінійному випадку) три класи невласних задач випуклого програмування залежно від пустоти чи непусто-ти допустимих множин Мі М* задач С і С* відповідно:

1)         М = 0, М* * 0;

М* 0, М* = 0;

М = 0, М* = 0.

Залежно від виконуваності властивостей (12.1) — (12.3) бу­демо говорити про невласну задачу С 1-го, 2-го або 3-го роду відповідно.

Для невласних задач випуклого програмування не може бути дано характеристику в тій формі, яка має місце для невласних задач лінійного програмування. Проте справедливі формули

М = 0&М** 0 == М(ДЬ)* 0 ==/(ДЬ)< +°°],  (12.12)

де М(ДЬ) = {х > 0, хє г :   (х) < ДЬІ, ) = 1,...,т, /(ДЬ) =      /(х): хє М(ДЬ)}}

М =0 & М (ДЬ) * 0 == /(ДЬ) <       М * *0, (12.13) М = 0&/(ДЬ) = +°° =М* *0, (12.14) М =0 & М * *0 == /(ДЬ) = +°°. (12.15) Похідними від (12.14) і (12.15) є співвідношення: М = 0 &/(ДЬ) = +°° == М* *0,М = 0 &М* *0 == /(ДЬ) = +°°.

12.2.2.2. ЗМІСТОВНА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ НЕВЛАСНИХ ЗАДАЧ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

У моделі лінійного програмування, поставленої згідно з реальною виробничо-економічною задачею, несумісність систе­ми обмежень є досить звичною. Частіше за все коригування век­тора Ь за рахунок прирощення ДЬ приводить до розв'язуваності задачі (12.7). В основу коригування вектора можуть бути покла­дені різні підходи, що дають різні математичні постановки. Мож­на, наприклад, вимагати від коригувальника прирощення ДЬ, щоб воно було аргументом оптимізаційної задачі

тіп|^муДЬу : Ах < Ь + ДЬ, х > 0 > 1, хє 2|, (ПЛб) де [ДЬДЬтГ =ДЬ,й,- >0,() = 1,...,т).

При цьому й}- можна інтерпретувати як міру втрат, пов'яза­них зі зміною ресурсу АЬ. на одиницю. За змістом описаного коректування деякі прирощення АЬ . можуть бути від'ємними, і

т

тоді у функції сумарних втрат 2"і АЬі відповідні їм доданки й^АЬ^

і=1

будуть від' ємними.

Дещо іншим, але змістовно очевидним є коректування, підпорядковане оптимізаційній задачі

тіпі^Уі: Ах < Ь + АЬ,[х, АЬ] > о|. (12.17)

Розглянута інтерпретація невласності 1-го роду для задачі Ь пов'язана з ресурсним дефіцитом. Корекцію такої задачі назива­ють корекцією за дефіцитом ресурсів. Проте причиною несуміс­ності може бути просто неточність задання вектора Ь, тому що майже всі економічні показники мають наближений характер.

Аналогічно інтерпретацію невласності 2-го роду для задач Ь пов'язують з неточністю інформації моделі. Причиною несуміс­ності є помилка у заданні вектора с.

Інтерпретація невласних задач лінійного програмування 3-го роду цікава тим, що вона двоїсто симетрична. Для задачі Ь си­метрична корекція має вигляд:

тах{(с -Ас, х) : Ах < Ь + АЬ, х < 0}. (12Л8) Піддавши аналогічному коригуванню задачу Ь*, отримаємо тіп{(Ь + АЬ,и): АТи > с-Ас,и > о} (12.19) Нехай К = {[Ас, АЬ] є Еп+Іп: задача (12.18) розв'язувана}, М(АЬ) = {х : Ах < Ь + АЬ, х > 0}; М*(Ас) = {и : Ати > с — Ас, и > 0}; КЬ = {АЬ : М(АЬ) * 0}; Кс = {Ас : М*(Ас) * 0}.

Очевидно, КЬ * 0 і Кс * 0. Множини К, КЬ і Кс пов'язані співвідношенням К = КЬ ■ Кс.

Дійсно, одночасно сумісність систем

Ах < Ь + АЬ, х > 0, (12.20)

Ати > с — Ас, и > 0 (12.21) при деяких АЬ і Ас приводить до розв'язуваності (12.18), а тому і (12.19). З іншого боку, якщо за деяких Ай і Ас задача (12.18) розв'язувана, то розв'язувана і задача (12.19), а тому їхні системи обмежень (12.20) і (12.21) сумісні.

 

12.2.2.3. МОДЕЛІ КОРЕКЦІЇ НЕВЛАСНИХ ЗАДАЧ

Практика розв'язування виробничо-економічних задач фінансового планування підприємства показує, що виникнення невласних моделей в системі — досить звичайна ситуація. Зви­чайно, у цьому випадку, виходячи з тих чи інших міркувань, можна ряд обмежень зняти або послабити, скоригувати вихідні дані і добитися того, що задача буде розв'язуваною. Проте знач­но важливіший і доцільніший підхід, що базується на застосу­ванні об' єктивних процедур для корекції такої моделі, тобто пе­ретворення її на розв'язувану.

12.2.2.3.1. Модель прямої апроксимації

Запишемо задачу математичного програмування у вигляді

С : зирЩх) : /(х) < 0, і = 1,..., т, х > 0}. (12.22)

Зануримо її в родину параметричних задач:

*ир{/о[уо](х) : /[у.](х) < 0, і = 1,..., т, х > 0}. (12.23)

Тут {у0, ут} — система векторних параметрів, що нале­жать деяким кінцевовимірним просторам. Це означає, що при

певних значенях цих параметрів {у0, у0,..., у0 } справедливі не­рівності:

/о [у0 I х) = /„(*), / [у01 х) = /} (х), (і = 1,..., ш).

(12.24)

(12.25) (12.26)

Припускаючи у = [у0, у1, ... , ут] замість (12.22), можна вико­ристовувати запис

С(у) : аир{/0[у](х) : /[у](х) < 0,і = 1,..., т, х > 0}.

Наведемо дві форми занурення:

отр{/0(х) — (Ас, х) : /(х) < ЛЬ, і = 1,..., т, х > 0}, зир/0(х) — а||х||2 : /(х) < АЬ, і = 1,..., т, х > 0},

де а > 0.

Параметрична відносно Ас є Я" і АЬ є Ят задача тах{(с — — Ас, х) : Ах < Ь + АЬ, х > 0} є результатом симетричного занурен­ня задачі (12.1).

Більш загальна форма занурення задачі (12.1) у клас пара­метричних задач реалізується таким чином:

шах|(с — Де, х) : (А + Н) х < Ь + ДЬ, х > 0}. (12.27)

Нехай сг— та чи інша властивість задачі С (бути розв'язува­ною, власною тощо).

Для (12.24) введемо множину Кс = {у : е(у) має властивість с}. Методи прямої апроксимації пов'язані з розв'язком задачі

ш/ {сі(у) : у є Ка} (12.28)

при тому або іншому виборі критеріальної функції сі(у). Наведе­мо приклади.

Нехай с є властивістю бути розв' язуваною для задачі

шах{(е — Де, х) : Ах < Ь + ДЬ, х > 0},

де (Де, ДЬ) є Я+"+т. Припустимо <1(Де, ДЬ) = ||Де||1 + ||ДЬ||1. У цій ситуації

Ха = {[Де, ДЬ] > 0 : М(ДЬ) * 0, М*(Де) * 0},

де М(ДЬ) = {х > 0 : Ах < Ь + ДЬ},

М*(Де) = {и > 0 : АТи < е — Де}.

Сама задача апроксимації (12.23) зводиться до задач лінійного програмування:

 

^ДЬ}- : Ах < Ь + ДЬ,[х, ДЬ] > о|, (12.29)

 

тіп|^1АС : АТи < с -Дс,[и, Де] > о|. (12.30)

Рішенням задачі відповідно до розглянутого прикладу є век­тор [д~, д~] , де   д~ = (с - АТ~), д~ = (Ах - Ь)+, ~ і ~ — оптимальні

розв'язки задач (12.29) — (12.30) відповідно.

Якщо функція сІ(Де, ДЬ) має дещо більш загальний вигляд:

й (Де, ДЬ) =    Я} ДЬі + ^ гІАеІ

і=1


=1

де Я. > 0, т. > 0 (/ = 1,..., т, і = 1,..., п), тоді аналогами задач (12.29) і (12.30) будуть тіп{(Я,(Ах — Ь)+) : х > 0},

тіп{(г,(с — Ати)+) : и > 0},

де Я = [Я1,..., Ят], г =            г ]. Останні належать до класу випук-

лих кусково-лінійних задач математичного програмування.

12.2.2.3.2. Симетрична корекція задач лінійного програмування

Випишемо пару двоїстих задач лінійного програмування:

Ь : тах(с, х), Ь* : тіп(Ь, и),

Ах < Ь, х > 0; Ати > с, и > 0.

Розглянемо методи їх корекції за Ь і с. З цією метою задачам Ь і Ь* поставимо відповідно задачі

Ь(А) : тах{(с — Ас, х) : Ах < Ь + АЬ, х > 0},

Ь*(А) : тіп{(Ь + АЬ, и) : Ати > с — Ас, и > 0}.

Тут А = [АЬ, Ас] є Е" + т. Задамо

К = {А : задача Ь(А) розв'язувана}. (1231)

Розглянемо методи розв'язування задачі

тіп{^(А) : А є К} (12.32)

при різних виборах функції якості корекції <і(А). а) Лінійна корекція. Задамо,

ЛҐ(АЬ) = {х : Ах < Ь + АЬ, х > 0},

Л/*(А) = {и : Ати > с — Ас, и > 0}, тоді

К = {А = [АЬ, Ас] : ЛҐ(АЬ) * 0, ЛР(Ас) * 0}.

Зупинимося на аналізі задачі (12.32) при ^А) = ||А||1. Легко переконатися в тому, що множину К, задану згідно з

, можна замінити на К+ = {А є К : А > 0}, не змінюючи оптимального значення задачі (12.32). Таким чином, замість

можна розглядати задачу

тіп{й?(А) : А є К+}, яка розпадається на дві самостійні:

тіп{||АЬ||1 : Ах < Ь + АЬ, [АЬ, х] > 0}, (12.33) тіп{||Ас||1 : Ати > с — Ас, [Ас, и] > 0}. (12.34) Задачі (12.33), (12.34) можна переписати у вигляді

min||(Ax -b) +11, ,min (c -ATu)+ . (12.35)
х>0м   111 и>0ІІ Iii

Візьмемо тепер як d(A) функцію

m n

d (A) = £ R; Ab; + ^ nAc,

j=1 i=1

яка в змістовому сенсі є більш цікавою. Тут R > 0, г. > 0 (j = 1,..., m, / = 1,..., n).

Аналогами задач (12.35) у цьому випадку будуть

min (r,(Ax - b)+) (12.36)

 

min (r,(c - ATu)+). (12.37)

У питанні корекції L і L* задачі (12.36) і (12.37) є проміжни­ми: у результаті їх розв'язання знаходяться нев'язки Ab = (AX - b)+

і Ac = (c -ATu)+, де X і u — оптимальні розв'язки задач (12.36), (12.37). Кінцевою ж метою є розв'язання задач l(A) і L*(A) , A = [ac, Ab ]. У ряді випадків пошук і розв'язок, наприклад, задачі L(A) можна об'єднати в одну задачу. А саме: нехай L — навласна задача 1-го роду, тоді ac = 0 , і задача L(A) запишеться у вигляді

max {(c, x): x є M(Ab)}, де M (Ab) — множина оптимальних розв'язків задачі (12.36), що

еквівалентна задачі maxlc, х) - a\R,( Ax - b)+)} при достатньо велико­му a> 0. Ця задача є випуклою кусково-лінійною програмою і може бути переписана як задача лінійного програмування:

 

max|(c, x)-aS^iRjtj : Ax - b < /,[/, х] > 0^

Якщо ж L — невласна задача 2-го роду, то Ab = 0, і задача L * (A) запишеться у вигляді

min {(b, u): u є M *(Ac)},

де м * (Ac) — множина оптимальних розв'язків (12.37), що еквіва­лентно задачі

minl (b, u) + 0} ГШ : c - ATu < ц, [ji,u] < 0 >.

u>01     tr j


б) Квадратична корекція. Задамо

й (Л) = ||Л||2 = ^ (Де )2 + ^ (ЛАу )2. Слідуючи схемі отримання задач (12.35), приходимо до задач

.о — Au


:u >0)


(12.38)

 

min|| (Ах - b)+| : x > 0 У Побудуємо ітераційні оператори


(12.39)

 

P(u) =


u +­


2 h+ (u)hi

 


lim <pl (uo) = u,

 

lim (^r (x0) = x,


(12.40) (12.41)

 

тут Лє 0,2, 8 = 2Ы|2, A = ХІНГ'

і =1 і=1

довільні початкові елементи для процесів (12.40) і

(12.41),

х, и — оптимальні розв'язки задач (12.38) і (12.39). Зараз на підприємствах починають певною мірою викорис­товувати методи оптимізації розвитку і розміщення виробництва. На окремих підприємствах розв'язання задач оптимізації знахо­дить своє застосування у рамках пошукових досліджень і епізо­дичного розв'язання окремих задач. Все більше значення має і можливість проведення багатоваріантних розрахунків на ЕОМ, що дозволяє проводити всебічний аналіз умов розвитку та розміщен­ня виробництва на попередній стадії розробки фінансових планів.

Основним змістом економіко-математичних моделей задач поточного і перспективного фінансового планування в рамках підприємства є визначення оптимального рівня існуючих вироб­ничих потужностей. Вони включають оптимальний розподіл ре­сурсів (і в тому числі сировини) між різними підрозділами підприємства в рамках встановлених обмежень. Проте треба виз­нати, що рівень досліджень в цій сфері поки не забезпечив роз­робку єдиної системи задач оптимізації фінансового планування підприємства.

За допомогою економіко-математичних методів і систем моделей розв' язуються найрізноманітніші задачі перспективно­го фінансового планування. У сфері удосконалення такого роду моделей найбільш актуальними є: по-перше, типізація задач і моделей, розробка єдиних методичних положень про умови тех­ніко-економічних розрахунків, створення нових ефективних ме­тодів і алгоритмів розв'язання задач на ЕОМ і, по-друге, конкре­тизація моделей методів і алгоритмів стосовно до специфічних умов кожної розв'язуваної задачі розвитку і розміщення вироб­ництва.

 

Питання для самоконтролю

Які завдання необхідно вирішити на підприємстві у випадку погіршення його фінансового стану?

Які економіко-математичні моделі використовуються у фінансовому плануванні?

Наведіть причини виникнення несумісних задач фінансового планування.

Які вимоги необхідно виконувати при застосуванні матема­тичних методів у фінансовому плануванні?

Наведіть методи подолання несумісних обмежень в задачах перспективного і поточного фінансового планування.